Aurélie 03/09/11
 

 

   Etude d'un oscillateur mécanique : concours orthoptie Toulouse 2011.

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On considère un ressort horizontal et de raideur k. l'extrémité A du ressort est fixe.
Un solide S, de masse m, est accroché à l'autre extrémité du ressort et se déplace sans frottement sur un banc horizontal.
La masse du ressort est négligeable devant m.
On étudie le mouvement du centre d'inertie G du solide, dans le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen.
On repère la position de G par son abscisse x sur une axe horizontal x'x d'origine O. Le point O correspond à la projection de G à l'équilibre.
Dessiner un schéma de cet oscillateur mécanique en faisant apparaître les forces auxquelles le point G est soumis. Préciser la nature de ces forces.
Le solide S est soumis à  : son poids, vertical, vers le bas, valeur mg
- à l'action du rail, vertical, vers le haut, valeur mg
- à une force de rappel exercée par le ressort, proportionnelle à l'allongement.



Etablir l'équation différentielle admettant x(t) comme solution.
Ecrire la seconde loi de Newton :

En déduire la pulsation propre w0 en fonction des caractéristiques de l'oscillateur.  
w0 =(k/m)½.
 Montrer que une solution de l'équation différentielle précédente peut s'écrire sous la forme :

x(t) = Xm cos (2pt/T0 + F0).
Xm : amplitude du mouvement et
F0 phase à l'origine des dates.
Dériver deux fois par rapport au temps :
x'(t) = -Xm 2 pi / T0 sin (2pt/T0 + F0) ; x"(t) = -Xm 4 pi2 / T02 cos(2pt/T0 + F0).
Repport dans l'équation différentielle :
[-Xm 4 pi2 / T02 cos (2pt/T0 + F0) ] + k / mXm cos (2pt/T0 + F0) = 0
Xm cos (2pt/T0 + F0) [ k / m -4 pi2 / T02 ] = 0
Or 4 pi2 / T02 = k / m : cette égalité est bien vérifiée quel que soit le temps.





En déduire l'expression littérale de la coordonnée vx du vecteur vitesse du point G en fonction du temps.
vx = dx/dt =
-Xm 2 pi / T0 sin (2pt/T0 + F0).
Donner les expressions littérales de l'abscisse x(0) et de la coordonnée vx(0) à l'origine des dates.
x(0) = Xm cos ( F0).
vx (0)= -Xm 2 pi / T0 sin ( F0)= -Xmw0 sin ( F0).








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