Aurélie 06/02/11
 

 

Saut à l'élastique : concours Orthoptie Nantes  2010

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Un sexagénaire, qui n'a pas froid aux yeux, de masse m, de centre d'inertie G, s'essaie au saut à l'élastique. La longueur de l'élastique est L.
Attaché à l'élastique par les pieds ( point M ), debout sur la plateforme, il se laisse tomber sans vitesse initiale et voyage tête en bas. L'élastique non tendu possède une longueur L0.
Pour OM < L0, L = L0, l'intensité de la tension de l'élastique est égale à zéro car on néglige la masse de l'élastique.
Pour une longueur OM > L0, OM=L, l'élastique tendu est caractérisé par  une constante de raideur k ( Nm-1 ). On admet que le centre de gravité G de la personne a un mouvement vertical d'axe Oz orienté vers le bas. On néglige toutes les forces de frottement.
m = 70 kg ; g = 10 m s-2 ; k = 100 N m-1 ; L0 = 18 m ; MG = 1 m.



OM < L0.
Etablir l'équation que doit satisfaire z = OG.En déduire l'évolution temporelle z(t).
Le sauteur n'est soumis qu'à son poids : il s'agit d'une chute libre sans vitesse initiale. Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe Oz : g = a.
La vitesse est une primitive de l'accélération ; la constante d'intégration est nulle, la vitesse initiale étant nulle.
v = gt = 10 t.
La position est une primitive de la vitesse : z(t) = ½gt2 + Cste.
z(0) = OG = -1 m ;
z(t) = ½gt2 -1 ;  z(t) = 5 t2-1.


   

Exprimer puis calculer le temps t1 au bout duquel l'élastique devient tendu.
z(t1) =L0 = 5 t12-1 ; t1 = ( (L0+1) / 5 )½ =(19/5)½ =1,949 ~1,9 s.
Quelle est la vitesse du sauteur à cet instant ?
v(t1) = 10 t1 = 19 m /s.
OM >L0. Déterminer l'équation du mouvement en z.

Pour quelle valeur de z =z1, la chute commence-t-elle à être freinée ? Exprimer z1 en fonction de m, g, k MG et L0. Calculer z1.
z" = 0 ;  z1 = L0+MG +mg / k= 19 +70*10/100 = 26 m.
Montrer que z(t) s'écrit z(t) = z1 +z0 (cos( wt+j). Exprimer w en fonction de k et m. Calculer w.
Solution générale de z" +k/m z = 0 ; on pose w2 = k/m ; w =(k/m)½ =(100 / 70)½ =1,195 ~1,2 rad/s.
z(t) = z0 cos(wt+j) avec z0 et j des constantes.
Solution particulière de l'équation différentielle :  z1 = L0+1 +mg/k.
Solution générale de l'équation différentielle : z(t) = z0 cos(wt+j) +z1.
A t=t1 ; z(t1) = L0+1 = 19= z0 cos(wt1+j) + 26 ; -7 =z0 cos(1,2*1,9+j) ; -7 =z0 cos(2,33+j) ;
vitesse z'((t1) =19,49 = -z0 sin(wt1+j) ; 19,49 = -1,195z0  sin(2,33+j) ; z0 sin(2,33+j) = -16,31.
tan (2,33+j) = 16,31 /7 = 2,33 ; 2,33+j =1,165 ; j = -1,165 rad ou + 1,165 rad.
La vitesse z'((t1) étant positive, on retient j = -1,165 rad.
Par suite z0 = -7 / cos(2,33+j)  = -17,7 m.
z(t) = -17,7 cos (1,2 t -1,165 ) +26.




Sachant que la nouvelle origine des dates t'=0 est choisie à l'instant t1, donner la relation reliant z0, cos j, m, g et k puis la relation reliant w, z0, sin j, g et t1.
z(t1) =L0 +1= z0 cos(wt1+j) +z1 ; or wt1=-2j ;  z0 cos(-j) +z1 ;  z1 = L0+1 +mg/k ;
 L0 +1= z0 cos(j) + L0+1 +mg/k ; z0 cos(j) +mg / k =0.
Dériver z(t) par rapport au temps : v(t1) = -z0 w sin(wt1+j) ; v(t1) =g t1 = -z0 w sin(-j) ;  g t1 = z0 w sin(j).
Exprimer l'énergie mécanique du sauteur à z = z1. En déduire l'expression de la vitesse maximale vmax en fonction de z1, g, GM, k, m et L0. Calculer vmax.
EM = Ec + Ep. On choisit l'origine de l'énergie potentielle en z=L0+1.
L'énergie mécanique initiale est sous forme potentielle de pesanteur EM(t=0) =  mg(
L0+2).
L'énergie mécanique  est sous forme cinétique, potentielle de pesanteur et potentielle élastique en z = z1.
EM =½mv2 +mg ( -z1+L0+1) +½k
( z1-L0-1)2.
L'énergie mécanique se conserve en l'absence de frottements : ½mv2 +mg ( z1-L0-1) +½k( z1-L0-1)2 = mg(L0+2).
½mvmax2 = -mg ( -z1+L0+1) -½k( z1-L0-1)2 + mg(L0+2).
vmax2 = -2g ( -z1+L0+1) -k / m( z1-L0-1)2 + 2g(L0+2).
vmax =[ -2g ( -z1+L0+1) -k / m( z1-L0-1)2 + 2g(L0+2)]½.
vmax =[ -20 ( 19-26) -100/70( 26-19)2 + 20(18+2)]½ = (+140 -70 +400)½ =21,7 ~22 m/s.
Avec une étude énergétique similaire, établir l'équation du second degré permettant de déterminer zmax ( le calcul de zmax n'est pas demandé ).
L'énergie mécanique  est sous forme  potentielle de pesanteur et potentielle élastique en z = zmax.
EM = mg ( -zmax+L0+1) +½k( zmax-L0-1)2.
L'énergie mécanique se conserve en l'absence de frottements : mg ( -zmax+L0+1) +½k( zmax-L0-1)2 = mg(L0+2).
Pour t = t'2, l'élastique n'est plus tendu.
Quelle est la nature du mouvement du sauteur ?
Le sauteur n'est soumis qu'à son poids, si l'élastique n'est pas tendu.
Il s'agit d'une chute libre verticale avec vitesse initiale.
A quelle hauteur doit remonter le sauteur dans les hypothèses du texte ?
L'énergie mécanique étant constante, le sauteur remonte jusqu'à sa position initiale.






En réalité,les frottements ne sont pas négligeables et le sauteur finit par s'immobiliser à la position OG = zfinal..
Déterminer zfinal.
Le sauteur immobile est en l'équilibre sous l'action de son poids et de la tension du ressort.
mg = k(L-L0) avec zfinal = L+1 ;
mg / k =
zfinal -1-L0 ; zfinal = mg / k +1+L0 = z1 = 26 m.
Qu'elle est l'énergie mécanique perdue lors du saut ? Qu'est-elle devenue ?
L'énergie mécanique initiale est sous forme potentielle de pesanteur EM(t=0) =  mg(L0+2).
L'énergie mécanique finale est sous forme potentielle de pesanteur et sous forme potentielle élastique :
 EM(t=fin) =  mg(
-zfinal +1+L0)+ ½l(zfinal -1-L0)2.
Diminution d'énergie mécanique :
EM(t=fin)- EM(t=0) =mg(-zfinal +1+L0)+ ½l(zfinal -1-L0)2  - mg(L0+2).
EM(t=fin)- EM(t=0) =700( -26+19) +50*49 -700*20 = -1,6 104 J.
L'énergie mécanique perdue est convertie en énergie thermique..







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