Aurélie 06/02/11
 

 

Radioactivité, l'uranium 235 ; l'oeil et la vision  : concours Orthoptie Nantes  2010

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L'uranium 235.
L'uranium 235 23592U bombardé par un neutron 10n peut se scinder en deux noyaux plus petits : un noyau de xénon
14054Xe et un noyau de strontium 9438Sr. Cette réaction de fission libère x neutrons.
Il peut aussi
bombardé par un neutron 10n peut se scinder en deux noyaux plus petits : un noyau de brome 8535Br et un noyau de lanthane 14857La. Cette réaction de fission libère y neutrons.
AZX
42He 10n 14857La 8535Br 14054Xe 9438Sr 23592U
masse en u
4,0015
1,0086
147,932
84,916
139,9252
93,9154
235,044
1 u = 1,66054 10-27 kg ; c = 3,00 108 m/s.
Ecrire les réactions et donner les valeurs de x et y.
23592U +10n --->14054Xe + 9438Sr + 2 10n.
Conservation du nombre de nucléons : 235+1 = 140 +94 +x ; x = 2.
23592U +10n ---> 8535Br14857La + 3 10n.
Conservation du nombre de nucléons : 235+1 = 85 +148 +y ; y = 32.
Calculer en joule l'énergie libérée par la fission d'un noyau d'uranium suivant chacune des réactions.
Dm =m(
14054Xe) + m(9438Sr)+ m(10n) -m(23592U) =139,9252+93,9154+1,0086-235,044 = -0,1948 u
-0,1948 *1,66054 10-27 = -3,23473 10-28 kg
E = |Dm|c2 =3,23473 10-28 *9 1016 =2,91 10-11 J.
Dm =m(8535Br) + m(14857La)+ 2m(10n) -m(23592U) =84,916+147,932+2*1,0086-235,044 = -0,1788 u
-0,1788 *1,66054 10-27 = -2,96905 10-28 kg
E = |Dm|c2 =2.96905 10-28 *9 1016 =2,67 10-11 J.
En déduire l'énergie libérée par la fission d'un kilogramme d'uranium, sachant que la probabilité de chacune des réactios est la même.
Energie moyenne : ½(2,67 +2,91) 10-11 = 2,79 10-11 J.
Nombre de noyaux d'uranium 235 dans 1 kg : 1000 / 235 *6,02 1023 =2,56 1024.
Puis : 2,79 10-11 * 2,56 1024 =7,1 1013 J.
La réaction si elle n'est pas contrôlée, peut être explosive. Expliquer.
Chaque fission produit 2 ou 3 neutrons qui peuvent à leur tour réagir avec 2 ou 3  noyaux d'uranium. Il en résulte une réaction en chaine.
Les noyaux d'uranium 235, présents dans le réacteur, peuvent capter un neutron rapide pour donner un noyau B. B subit deux désintégrations naturelles ß- pour donner un noyau de plutonium fissible C.
Identifier et nommer B.
23592U +10n --->23692U. B est un isotope de l'uranium 235. B est l'uranium 236.
23692U ---> 23693D + 0-1e.
 23693C --->  23694Pu + 0-1e.
Le réacteur est appelé surrégénérateur. Justifier.
La fission du combustible uranium 235 conduit à un autre combustible fissible le plutonium 236.



Le noyau C possède une radioactivité alpha caractérisée par un temps de demi-vie égal à 24 400 ans.
Ecrire la réaction de désintégration de C et préciser le temps au bout duquel la radioactivité de C a été divisée par huit .
23694Pu ---> 23292U + 42He.

A chaque demi-vie l'activité initiale est divisée par deux.
Au bout de 3 demi-vies soit 3*24400 = 73200 ans l'activité initiale est divisée par huit.    

L'oeil et la vision.
L'oeil sera représenté par un diaphragme de diamètre D ( pupille) placé  devant une lentille ( cristallin ) de distance focale f'. Les muscles oculaires modifiant légèrement la forme du cristallin permettent de réduire la distance focale f'0 ( distance focale sans effort d'accomodation ) à f'min ( distance focale minimale obtenue avec un effort d'accomodation maximal ). Le pouvoir d'accommodation d'un oeil est égal à 1/f'0 -1/f'min. Le récepteur ( rétine ) d'épaisseur e, est constitué de cellules réceptives ( cônes ) de dimension g.
On donne : D = 2 mm ; OB = 2 cm ; e = 80 µm ; g = 10 µm.

Influence de l'épaisseur de la rétine.
Pour un oeil emmétrope, l'image d'un point situé à l'infini se forme, sans accommodation, dans l'épaisseur de la rétine.
Montrer que cet oeil possède une valeur f'0 comprise entre deux valeurs à calculer très précisément.
L'objet étant à l'infini, la formule de conjugaison indique que la distance focale est égale à la distance cristallin-rétine.
f'01 = OB = 2,000 cm ; f'02 = OB' = OB + e = 2,008 cm ;
f'0 est comprise entre 2,000 cm et 2,008 cm.
La pseudo accommodation liée à l'épaisseur de la rétine est égale à 0,2 dioptrie.  Justifier ce chiffre.
1/ f'012  - 1/ f'0 2  = 1/0,02 -1/ 0,02008 = 50 -49,8 = 0,2 dioptrie.

Influence du diamètre de la pupille et de la dimension des cellules réceptrices.
Pour cet oeil emmétrope, l'image d'un point situé sur l'axe optique de l'oeil en A, sans accommodation, se forme en A'. La pupille a un diamètre D.
Effectuuer le schéma représentant les rayons issus de A et passant  aux bords extérieurs de la pupille.

Donner la dimension de la tache que forment les rayons lumineux sur la rétine en fonction de OA', f'0 et D.
On confond ici B et B' ; on prend OB = f'0. On donne d, la dimension de la tache sur la rétine.
D / d = OA' / A'B ; d = D A'B / OA' ; A'B = OA'-OB =OA' -f'0.
d = D (OA' -f'0) / OA'.
L'image sera nette si la dimension de la tache est inférieure à la dimension des cellules réceptives de la rétine.
Exprimer puis calculer OA'max pour obtenir une image nette.
d < g ; D (OA' -f'0) / OA' < g ; D (OA' -f'0)  < g OA' ; OA' ( D-g) < D f'0 ;
OA' < D f'0 /  ( D-g) ; OA'max = D f'0 /  ( D-g) =2 10-3 * 0,02 / (2 10-3 - 10-5) =0,0201 m.
En déduire la position limite de l'objet OAlim ( punctum proximum ) permettant une vision nette.






Une personne de plus de 65 ans a perdu tout pouvoir d'accommodation lié au muscle oculaire. Il conserve donc les seules pseudo accommodation liée à l'épaisseur de la rétine et à la dimension des cônes.
En adaptant le calcul précédent pour tenir compte de l'épaisseur de la rétine, déterminer OA'max puis la position de l'objet OAlim permettant une vision nette pour un oeil caractérisé par OB = f'0.
Remplacer OB par OB' = OB + e = 2,008 cm ; soit f'0 = OB' = 2,008 cm.
OA'max = D f'0 /  ( D-g) =2 10-3 * 0,02008 / (2 10-3 - 10-5) =0,02018 m.
Distance algébrique OAlim = -2,2 m.

La pupille de diamètre D est éclairée par un faisceau lumineux parallèle. A la sortie de la pupille le faisceau forme un cône divergent d'angle 2q.
Citer le phénomène concerné.
Diffraction par une fente dont la dimension est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde de la lumière.

Rappeler l'expression de l'élargissement angulaire 2a d'un faisceau de longueur d'onde l éclairant une fente  de largeur D.
a = l / D ou 2a = 2l/D.

Pour quelle couleur cet élargisement est-il le plus important ? Calculer cet élargissement.
La  longueur d'onde  du rouge ( 800 nm) est supérieure à celle du bleu ( 400 nm). L'élargissement est plus important pour le rouge.
a = 800 10-9 / 2 10-3 = 4 10-4 rad ; 2 a = 8
10-4 rad
Tracer le point de convergence des rayons sortant de la pupille avec un angle a.

Déterminer le diamètre d de la tache sur la rétine. Ce phénomène limite-t-il la netteté de l'image rétinienne ?
tan a = ½d / f'0 ; d = 2 f'0 tan a =2*0,02 tan 4 10-4 =1,6 10-5 m = 16 µm pour la lumière rouge.
d = 2 f'0 tan a =2*0,02 tan 2 10-4 =0,8 10-5 m = 8 µm pour la lumière bleue.
Pour le rouge, le diamètre de la tache due à la diffraction est supérieure à la dimension d'un cône : la netteté de l'image sera un peu altérée.






Vision de nuit :
Lors de la vision nocturne une caractéristique de l'oeil est modifier pour augmenter la puissance lumineuse pénétrant dans l'oeil.
Laquelle ? Comment sont modifiés les résultats précédents pour la vision nocturne ?
Le diamètre D de la pupille est bien supérieure à 2 mm. On prend, par exemple D = 5 mm.
OA'
max = D f'0 /  ( D-g) =5 10-3 * 0,02 / (5 10-3 - 10-5) =0,02004 m. OA'max diminue.
La distance algébrique OA
lim = -10 m ; elle augmente.
a = 800 10-9 / 5 10-3 = 1,6 10-4 rad ; 2 a = 3,2 10-4 rad ; a diminue.
d = 2 f'0 tan a =2*0,02 tan 1,6 10-4 =6,4 10-6 m = 6,4 µm pour la lumière rouge.
Pour le rouge, le diamètre de la tache due à la diffraction est inférieure à la dimension d'un cône :l'image sera nette.






Donner la composition du noyau de radon 222.
Z = 86 ; 86 protons et 222-86 = 136 neutrons.
Le radon 222 est issu du noyau de radium 226
Ecrire l'équation de cette désintégration. De quel type de radioactivité s'agit-il ?
22688Ra ---> 22286Rn + 42He, radioactivité de type alpha.
Donner les deux autres types de radioactivité en précisant le nom de la particule émise.
Radioactivité de type ß- : émission d'un électron.
Radioactivité de type ß+ : émission d'un positon.
Ecrire l'équation de désintégration du radon 222.
22286Rn --->  21884Po+ 42He.
Au cours de la désintégration du radon 222, on observe l'émission d'un rayonnement g.
Définir cette émission. Quel noyau émet  ce rayonnement ?
Le rayonnement g est un photon, de même nature que la lumière, mais beaucoup plus énergétique.
Le noyau fils 21884Po, se trouve souvent dans un état excité : lors du retour à l'état fondamental, il libère son surplus d'énergie sous forme de photon g.



On considère un échantillon contenant à la date t=0, N0 = 1000 noyaux de radon 222.
Calculer la constante radioactive du radon.
l = ln2 / t½ avec t½ = 3,8 *24*3600 =3,2832 105 s.
l = ln2 / t½ = ln 2 / 3,2832 105= 2,1112 10-6 ~2,1 10-6 s-1.

Ecrire la loi de décroissance radioactive de l'échantillon. Tracer la courbe N=f(t) en faisant apparaître la demi-vie.

   

A quelle date t1, il ne reste plus que 1% du nombre initial de noyaux ?
N = 0,01 N0 = N0 exp(-lt1) avec l = ln2 / 3,8 = 0,1824 jour-1.
ln 0,01 = -0,1824 t1 ; t1 = 25,2 ~ 25 jours.
Définir l'unité le becquerel, donner son symbol.
L'activité, nombre de désintégraions par seconde, s'exprime en becquerel ( Bq).
Calculer l'activité de l'échantillon à la date t1.
N (t1) = 0,01 N0 = 10 noyaux.
A(t1 ) = l N (t1) = 2,1112 10-6* 10 = 2,1 10-5 Bq.
En l'absence de ventillation, l'air d'une maison a une concentration constante en radon 222.
Expliquer pourquoi, dans certains endroits, la concentration en radon 222 reste constante au cours du temps.
Dans un endroit peut ventilé, situé dans une région granitique, le radon 222 se forme  par une succession de désintégrations radioactives ; d'autre part le radon est lui même radioactif, il se désintègre en polonium 218.
Expliquer le principe de la datation pour une espèce radioactive.
De toutes les méthodes radio-chronologiques ( basées sur la loi statistique de Curie-Rutherford-Soddy ou loi de décroissance radioactive), celle de la datation au carbone 14 est la plus connue. Dans la haute atmosphère, soumis au rayonnement cosmique galactique constitué de protons, des neutrons secondaires interagissent avec les noyaux d'azote 14. Cette réaction forme un isotope AZX du carbone : le fameux carbone 14. Immédiatement formé le carbone 14 s'oxyde en se combinant avec l'oxygène pour former du dioxyde de carbone qui se mélange avec le reste de l'atmosphère. Or le carbone 14 est radioactif. La teneur en carbone 14 est constante dans le monde ( dans l'atmosphère comme dans chaque organisme vivant ). Cela est du à un équilibre entre la désintégration et la production de carbone 14. Chaque gramme de carbone contient des atomes de carbone 14. On enregistre en moyenne 13,5 désintégrations par minute et par gramme de carbone. Lorsqu'un arbre, par exemple, est abattu, le bois cesse de vivre, le processus de photosynthèse s'arrête et il n'y a plus d'absorption de dioxyde de carbone. Le carbone 14 est alors libre de se désintégrer sans compensation. On peut donc dater l'âge de la mort de l'organisme ( au moment où cesse tout échange de CO2 avec l'atmosphère).
La mesure de la concentration en radon 222 dans l'air des poumons d'une personne décédée dans un tel lieu, permettrait-elle de connaîte précisément la date du décès ?
Oui si le décès n'est pas antétieur à 5 demi-vie radioactive du radon 222 ( soit environ  19 jours). Au delà, il reste trop peu de raddon 222 dans les poumons.

Calculer en J et en MeV, l'énergie libérée par la désintégration d'un noyau de radon 222.
Dm = m(21884Po) + m(42He) - m(22286Rn) = 217,9629 + 4,002 - 221,9704 = -0,0055 u
-0,0055 * 1,66054 10-27  = -9,13297 10-30 kg ;
E = | Dm|c2 = 9,13297 10-30* (3,00 108 )2 =8,22 10-13 J.
8,22 10-13 / 1,60 10-13 = 5,14 MeV.





Oscillations à la surface de l'eau.
On étudie un bouchon de forme cylindrique, de rayon r = 2,00 cm et de hauteur h = 10,0 cm. Le bouchon est homogène de masse volumique µ =750 kg m-3. Dans tout l'exercice on suppose que le bouchon reste vertical. On repère son cente de gravité par l'abscisse x. L'axe Ox étant vertical dirigé vers le haut. On donne g = 9,81 m s-2.
Dans cette partie, on place le bouchon dans un liquide de masse volumique µL. Le bouchon est immobile et flotte.
Faire un bilan des forces s'exerçant sur le bouchon et les faire figurer sur un schéma sans souci d'échelle.
Le bouchon est soumis à son poids , vertical, vers le bas, valeur mg et à la poussée d'Archimède, verticale, vers le haut, égale au poids du volume de liquide déplacé.

La partie émergée ( hors de l'eau ) du bouchon représente une hauteur h1 = 2,25 cm.
Exprimer µL en fonction de µ, h et h1. Calculer µL.
V =  p r2 h ;  m = µV = µ
p r2 h ; P = mg = µ p r2 hg.
V1p r2 (h-h1 );  F = µLgV1 = µL p r2 (h-h1 ) g.
A l'équilibre, les forces se compensent :
µ p r2 hg = µL p r2 (h-h1 ) g.
µ  h = µ (h-h1 )  ; µL = µ  h /(h-h1 )  = 750 *10 / 7,75 = 968 kg m-3.
Dans cette partie le bouchon n'est plus immobile. On l'immerge verticalement dans l'eau de masse volumique µeau = 1000 kg m-3. A la date t=0, on l'enfonce de façon à ce qu'il ne reste plus qu'un centimètre hors de l'eau et on le lâche sans vitesse initiale. L'origine de l'axe, x=0,  correspond au centre de gravité dans la position d'équilibre.
Déterminer la valeur X0 de x à la date t=0.
Le bouchon est enfoncé de 1,25 cm :
X0 = - 1,25 cm.
Pour une position quelconque, déterminer l'expression de la poussée d'Archimède exercée par l'eau sur le bouchon en fonction de x.
Hauteur immergée : ½h +2,75 -x = 5+2,75-x = 7,75 - x cm = (7,75-x ) 10-2 m.
Volume immergé : p r2 (7,75-x ) 10-2  ;  poussée : µeau  p r2 (7,75-x ) 10-2 g.
On néglige les frottements.
Montrer que l'équation différentielle peut se mettre sous la forme x" +w02x = A où w0 et A sont des constantes.
Poids mg avec m = µ p r2 h.
Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe Ox :
p r2 h g +µeau  p r2 (7,75-x ) g = m x" = µ p r2 h x".
 -µ  h g +µeau   (7,75-x ) g =  µ  h x".
x" +
µeau / (µ  h) g x =( 7,75 µeau / ( µ  h) -1  ) g.
On pose
w02 =µeau / (µ  h) g = 1000 *9,81 / (750*0,1) =130,8 rad2 s-2.
On pose A = ( 7,75 µeau / ( µ  h) -1  ) g = (7,75*1000/ (750*10)-1)*9,81 =0,327 m s-2.






On se place dans des conditions telles que A =0.
Montrer que x(t) = Xm cos ( 2p/T0 t + F) est solution de l'équation différentielle.
w0 = 2
p/T0 ; x'(t) = Xm(-w0 ) sin ( w0 t +F) ; x"(t) = Xm(-w20 ) cos ( w0 t +F) = -w20 x(t).
Repport dans l'équation différentielle :
-w20 x(t)+ w20 x(t) = 0.
Cette égalité est vérifiée quel que soit t : x(t) est bien solution de l'équation différentielle.
Le mouvement du bouchon est rectiligne sinusoïdal non amorti. ( oscillateur harmonique )
Comment nomme t-on Xm, T0 et F ? Déterminer ces grandeurs.
Xm : amplitude positive ; T0 : période propre ; F : phase à l'origine.
Xm  = 1,25 cm ; T0 = 2p / w0 avec w0 = 11,44 rad/s. T0 =6,28 / 11,44 = 0,549 s.
x(0) = -1,25  = 1,25 cos F ;
cos F = -1 ; F = p rad.
Donner l'expression de la vitesse au cours du temps. En déduire la valeur de la vitesse au passage à la position d'équilibre.

x(t) = Xm cos( w0 t +F) ; au premier passage à la position d'équilibre : 0 = Xm cos( w0 t +F) ; w0 t +F = -½p.
w0 t = -½p- (-p) = ½p ; t = ½p /w0 = 0,25 T0.
v(t) = x'(t) = Xm(-w0 ) sin ( w0 t +F)
Au passage à la position d'équilibre : v =
Xm(-w0 ) sin( ½p -p) = w0 Xm = 11,44 * 0,0125 =0,143 m/s.

On tient compte à présent des frottements de l'eau sur le bouchon. La force de frottement a pour expression   où v représente la vitesse.

Quelle est l'unité de k ?
  k est une force divisée par une vitesse ; une force est une masse fois une accélération :
[ f ] = M L T-2 ; [v] = L T-1 ; [k ] =
M  T-1 ; k s'exprime en kg s-1.
Ecrire la nouvelle équation différentielle du mouvement en tenant compte de la force de frottement.

Il s'agit d'un mouvement pseudopériodique. L'amplitude des oscillations diminue au cours du temps.







Donner la composition du noyau de radon 222.
Z = 86 ; 86 protons et 222-86 = 136 neutrons.
Le radon 222 est issu du noyau de radium 226
Ecrire l'équation de cette désintégration. De quel type de radioactivité s'agit-il ?
22688Ra ---> 22286Rn + 42He, radioactivité de type alpha.
Donner les deux autres types de radioactivité en précisant le nom de la particule émise.
Radioactivité de type ß- : émission d'un électron.
Radioactivité de type ß+ : émission d'un positon.
Ecrire l'équation de désintégration du radon 222.
22286Rn --->  21884Po+ 42He.
Au cours de la désintégration du radon 222, on observe l'émission d'un rayonnement g.
Définir cette émission. Quel noyau émet  ce rayonnement ?
Le rayonnement g est un photon, de même nature que la lumière, mais beaucoup plus énergétique.
Le noyau fils 21884Po, se trouve souvent dans un état excité : lors du retour à l'état fondamental, il libère son surplus d'énergie sous forme de photon g.



On considère un échantillon contenant à la date t=0, N0 = 1000 noyaux de radon 222.
Calculer la constante radioactive du radon.
l = ln2 / t½ avec t½ = 3,8 *24*3600 =3,2832 105 s.
l = ln2 / t½ = ln 2 / 3,2832 105= 2,1112 10-6 ~2,1 10-6 s-1.

Ecrire la loi de décroissance radioactive de l'échantillon. Tracer la courbe N=f(t) en faisant apparaître la demi-vie.

   

A quelle date t1, il ne reste plus que 1% du nombre initial de noyaux ?
N = 0,01 N0 = N0 exp(-lt1) avec l = ln2 / 3,8 = 0,1824 jour-1.
ln 0,01 = -0,1824 t1 ; t1 = 25,2 ~ 25 jours.
Définir l'unité le becquerel, donner son symbol.
L'activité, nombre de désintégraions par seconde, s'exprime en becquerel ( Bq).
Calculer l'activité de l'échantillon à la date t1.
N (t1) = 0,01 N0 = 10 noyaux.
A(t1 ) = l N (t1) = 2,1112 10-6* 10 = 2,1 10-5 Bq.
En l'absence de ventillation, l'air d'une maison a une concentration constante en radon 222.
Expliquer pourquoi, dans certains endroits, la concentration en radon 222 reste constante au cours du temps.
Dans un endroit peut ventilé, situé dans une région granitique, le radon 222 se forme  par une succession de désintégrations radioactives ; d'autre part le radon est lui même radioactif, il se désintègre en polonium 218.
Expliquer le principe de la datation pour une espèce radioactive.
De toutes les méthodes radio-chronologiques ( basées sur la loi statistique de Curie-Rutherford-Soddy ou loi de décroissance radioactive), celle de la datation au carbone 14 est la plus connue. Dans la haute atmosphère, soumis au rayonnement cosmique galactique constitué de protons, des neutrons secondaires interagissent avec les noyaux d'azote 14. Cette réaction forme un isotope AZX du carbone : le fameux carbone 14. Immédiatement formé le carbone 14 s'oxyde en se combinant avec l'oxygène pour former du dioxyde de carbone qui se mélange avec le reste de l'atmosphère. Or le carbone 14 est radioactif. La teneur en carbone 14 est constante dans le monde ( dans l'atmosphère comme dans chaque organisme vivant ). Cela est du à un équilibre entre la désintégration et la production de carbone 14. Chaque gramme de carbone contient des atomes de carbone 14. On enregistre en moyenne 13,5 désintégrations par minute et par gramme de carbone. Lorsqu'un arbre, par exemple, est abattu, le bois cesse de vivre, le processus de photosynthèse s'arrête et il n'y a plus d'absorption de dioxyde de carbone. Le carbone 14 est alors libre de se désintégrer sans compensation. On peut donc dater l'âge de la mort de l'organisme ( au moment où cesse tout échange de CO2 avec l'atmosphère).
La mesure de la concentration en radon 222 dans l'air des poumons d'une personne décédée dans un tel lieu, permettrait-elle de connaîte précisément la date du décès ?
Oui si le décès n'est pas antétieur à 5 demi-vie radioactive du radon 222 ( soit environ  19 jours). Au delà, il reste trop peu de raddon 222 dans les poumons.

Calculer en J et en MeV, l'énergie libérée par la désintégration d'un noyau de radon 222.
Dm = m(21884Po) + m(42He) - m(22286Rn) = 217,9629 + 4,002 - 221,9704 = -0,0055 u
-0,0055 * 1,66054 10-27  = -9,13297 10-30 kg ;
E = | Dm|c2 = 9,13297 10-30* (3,00 108 )2 =8,22 10-13 J.
8,22 10-13 / 1,60 10-13 = 5,14 MeV.





Oscillations à la surface de l'eau.
On étudie un bouchon de forme cylindrique, de rayon r = 2,00 cm et de hauteur h = 10,0 cm. Le bouchon est homogène de masse volumique µ =750 kg m-3. Dans tout l'exercice on suppose que le bouchon reste vertical. On repère son cente de gravité par l'abscisse x. L'axe Ox étant vertical dirigé vers le haut. On donne g = 9,81 m s-2.
Dans cette partie, on place le bouchon dans un liquide de masse volumique µL. Le bouchon est immobile et flotte.
Faire un bilan des forces s'exerçant sur le bouchon et les faire figurer sur un schéma sans souci d'échelle.
Le bouchon est soumis à son poids , vertical, vers le bas, valeur mg et à la poussée d'Archimède, verticale, vers le haut, égale au poids du volume de liquide déplacé.

La partie émergée ( hors de l'eau ) du bouchon représente une hauteur h1 = 2,25 cm.
Exprimer µL en fonction de µ, h et h1. Calculer µL.
V =  p r2 h ;  m = µV = µ
p r2 h ; P = mg = µ p r2 hg.
V1p r2 (h-h1 );  F = µLgV1 = µL p r2 (h-h1 ) g.
A l'équilibre, les forces se compensent :
µ p r2 hg = µL p r2 (h-h1 ) g.
µ  h = µ (h-h1 )  ; µL = µ  h /(h-h1 )  = 750 *10 / 7,75 = 968 kg m-3.
Dans cette partie le bouchon n'est plus immobile. On l'immerge verticalement dans l'eau de masse volumique µeau = 1000 kg m-3. A la date t=0, on l'enfonce de façon à ce qu'il ne reste plus qu'un centimètre hors de l'eau et on le lâche sans vitesse initiale. L'origine de l'axe, x=0,  correspond au centre de gravité dans la position d'équilibre.
Déterminer la valeur X0 de x à la date t=0.
Le bouchon est enfoncé de 1,25 cm :
X0 = - 1,25 cm.
Pour une position quelconque, déterminer l'expression de la poussée d'Archimède exercée par l'eau sur le bouchon en fonction de x.
Hauteur immergée : ½h +2,75 -x = 5+2,75-x = 7,75 - x cm = (7,75-x ) 10-2 m.
Volume immergé : p r2 (7,75-x ) 10-2  ;  poussée : µeau  p r2 (7,75-x ) 10-2 g.
On néglige les frottements.
Montrer que l'équation différentielle peut se mettre sous la forme x" +w02x = A où w0 et A sont des constantes.
Poids mg avec m = µ p r2 h.
Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe Ox :
p r2 h g +µeau  p r2 (7,75-x ) g = m x" = µ p r2 h x".
 -µ  h g +µeau   (7,75-x ) g =  µ  h x".
x" +
µeau / (µ  h) g x =( 7,75 µeau / ( µ  h) -1  ) g.
On pose
w02 =µeau / (µ  h) g = 1000 *9,81 / (750*0,1) =130,8 rad2 s-2.
On pose A = ( 7,75 µeau / ( µ  h) -1  ) g = (7,75*1000/ (750*10)-1)*9,81 =0,327 m s-2.






On se place dans des conditions telles que A =0.
Montrer que x(t) = Xm cos ( 2p/T0 t + F) est solution de l'équation différentielle.
w0 = 2
p/T0 ; x'(t) = Xm(-w0 ) sin ( w0 t +F) ; x"(t) = Xm(-w20 ) cos ( w0 t +F) = -w20 x(t).
Repport dans l'équation différentielle :
-w20 x(t)+ w20 x(t) = 0.
Cette égalité est vérifiée quel que soit t : x(t) est bien solution de l'équation différentielle.
Le mouvement du bouchon est rectiligne sinusoïdal non amorti. ( oscillateur harmonique )
Comment nomme t-on Xm, T0 et F ? Déterminer ces grandeurs.
Xm : amplitude positive ; T0 : période propre ; F : phase à l'origine.
Xm  = 1,25 cm ; T0 = 2p / w0 avec w0 = 11,44 rad/s. T0 =6,28 / 11,44 = 0,549 s.
x(0) = -1,25  = 1,25 cos F ;
cos F = -1 ; F = p rad.
Donner l'expression de la vitesse au cours du temps. En déduire la valeur de la vitesse au passage à la position d'équilibre.

x(t) = Xm cos( w0 t +F) ; au premier passage à la position d'équilibre : 0 = Xm cos( w0 t +F) ; w0 t +F = -½p.
w0 t = -½p- (-p) = ½p ; t = ½p /w0 = 0,25 T0.
v(t) = x'(t) = Xm(-w0 ) sin ( w0 t +F)
Au passage à la position d'équilibre : v =
Xm(-w0 ) sin( ½p -p) = w0 Xm = 11,44 * 0,0125 =0,143 m/s.

On tient compte à présent des frottements de l'eau sur le bouchon. La force de frottement a pour expression   où v représente la vitesse.

Quelle est l'unité de k ?
  k est une force divisée par une vitesse ; une force est une masse fois une accélération :
[ f ] = M L T-2 ; [v] = L T-1 ; [k ] =
M  T-1 ; k s'exprime en kg s-1.
Ecrire la nouvelle équation différentielle du mouvement en tenant compte de la force de frottement.

Il s'agit d'un mouvement pseudopériodique. L'amplitude des oscillations diminue au cours du temps.







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