Aurélie 01/05/11
 

 

   Déterminer un intervalle pour le nombre d'Avogadro : concours général 2011.

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Toutes les applications numériques seront faites pour l'argon , considéré comme un gaz parfait pris  dans les conditions suivantes : T = 300 K et p0=1,013 105 Pa.
A la recherche d'un minorant de NA.
Modèle de l'empilement compact.

Dans son livre les atomes, Jean Perrin écrit :  dans les liquides, les molécules ne peuvent pas être plus serrées  que ne le sont des boulets dans une pile de boulets.
Cet empilement peut être représenté comme la figure ci-contre.
Par souci de clarté, nous avons représenté les "boulets" avec un rayon réduit : il faut les imaginer tangents ( lorsque c'est possible).
Et on considère que le cube de côté a contient réellement N "boulets" de diamètre d : N sera déterminé ultérieurement
Rappeler le volume Vcube du cube en fonction de a. Vcube = a3.
Quel est le volume réel Vr occupé par ces N boulets en fonction de N et d ?
Volume d'un boulet sphérique de diamètre d : 4/3 p (½d)3 = p d3/6. Vr = N
p d3/6.
Comparer les deux volumes de façon intuitive.
Entre les boulets, il y a nécesairement des espaces vides.
Vcube > Vr.

Sur la figure ci-contre, on a représenté l'arrangement des atomes en regardant une face du cube ( en projection ).
Quelle relation entre a et d traduit le contact des boulets suivant une diagonale ?
Diagonale = 2½ a = 2 d ; a = 2½ d.


On définit la compacité C de la structure comme le rapport Vr / Vcube.
Exprimer la compacité C en fonction de N.
C =
N p d3/(6a3) ; d / a = 2 ; (d / a)3=2-1,5 ; C =N p / 6* 2-1,5 ~0,185 N.


On imagine maintenant que les boulets sont des atomes de forme sphérique et que l'espace empli par la matière est la juxtaposition de cubes comme décrits précédemment. On s'aperçoit sur le schéma qu'un atome n'est pas entièrement contenu dans un cube, mais appartient à plusieurs d'entre eux.


 

On considère un atome du même type que celui représenté en rose et en trait pointillé. A combien de cube appartient-il ?
L'atome qui est au centre d'une face appartient à 2 cubes.
Même question pour celui qui est représenté en jaune et en trait plein.

Un atome situé au sommet d'un cube appartient à 8 cubes..
Justifier que N = 4.
Chaque atome situé au centre d'une face compte pour ½ ; il y a six faces: 0,5*6 = 3 atomes en propre à un cube.
Chaque atome situé au sommet compte pour 1/8 ; il y a 8 sommets : soit 1 atome en propre à chaque cube. Par suite N = 1+3 = 4 atomes en propre à un cube.
Calculer C. 0,185*4 = 0,74.

On repasse maintenant à l'échelle macroscopique : on considère une mole de gaz, occupant le volume VG à la température T0 et à la pression p0. Une fois liquéfiée, cette quantité de matière occupe le volume VL ( volume molaire du liquide ). Le gaz considéré est de l'argon, qu'on assimile à un gaz parfait.
Exprimer son volume VG en fonction de R, p0 et T0. VG = RT0 / p0.

Exprimer VL en fonction  de la masse volumique de l'argon liquide µAr liq et de sa masse molaire MAr.
µAr liq = MAr / VL ;
VL =MAr / µAr liq.
Préciser l'unité de 1 /
µAr liq et et interpréter cette grandeur.
Il s'agit du volume massique m3 kg-1.

Minoration de NA.
Jean Perrin écrit :  dans les liquides, les molécules ne peuvent pas être plus serrées  que ne le sont des boulets dans une pile de boulets.
Exprimer le VL en fonction de d, C et NA puis déduire un minorant de ce volume molaire.
MAr  = mAr NAµAr liq = mAr / VAr ; mAr : masse d'un atome d'argon ; VAr  = pd3/6, volume d'un atome d'argon.
Par suite :
VL =MAr / µAr liq = NA VAr  =NA pd3/6.
Or C = 4 p / (6 *21,5) = 1,41 p/6 ;  ; VL =NA pd3/6 = NA d3 C /1,41 = 0,707 NA d3 C ; remplacer C par 0,74 pour avoir le volume minimal.
 VL min = 0,524
NA d3.
Montrer qu'on peut alors en déduire un majorant du produit NA d3 et exprimer ce majorant en fonction de MAr et µAr liq.
NA d3VL min / 0,524 = MAr /( µAr liq *0,524) = 1,91 MAr / µAr liq = 1,91 *39,948 10-3 / 1,396 103 =5,47 10-5. (1)
Cette relation va nous permettre de trouver un majorant dmax du diamètre atomique d et un minorant de NA.

En utilisanten déduire d < dmax.
dmax s'écrit en fonction de p0, R, T0, µAr liq, µAr gaz, MAr et hAr.
Calculer sa valeur numérique.
(2)
Faire le rapport de (1)/ (2) : d = 5,47 10-5 / 5,21 104 =1,05 10-9 m.
En déduire un minorant de NA.
NA = 5,21 104  / (1,05 10-9)2= 4,7 1022 mol-1.





En route vers un majorant de NA.
Il est possible d'électriser un isolant ( c'est à dire de déposer des charges sur celui-ci ). En conséquence, on assiste localement à une redistribution des charges au sein des molécules, ce qui "déforme" le nuage électronique.
On associe à ce phénomène la polarisabilité a, homogène à un volume qu'on interprète comme le volume de la sphère parfaitement conductrice équivalente. Un calcul, dû à Clausius et Mossotti, nous donne cette polarisabilité a d'un gaz diélectrique en fonction de sa masse molaire M, de sa masse volumique µ et de son indice de réfraction n :
 (1)
On rappelle que l'indice de réfraction est une grandeur sans dimension et sans unité.
Voici ce que dit Jean Perrin, à la recherche d'une borne supérieure pour NA :
" Dans la théorie des diélectriques, le pouvoir diélectrique d'un gaz tient à ce que chaque molécule se polarise par influence, par déplacement des charges électriques intérieures. Développant cette idée, nous écrivons que le volume vrai de N molécules est (..) sûrement supérieur au volume des N sphères parfaitement conductrices qui pourraient  être mises à la place des molécules sans modifier l'indice de réfraction n du milieu."
Interpréter le texte précédent en écrivant la relation liant le diamètre d des atomes de gaz et la polarisabilité a : on attend  une inégalité qui porte sur les volumes, à expliciter en fonction de d et a.
a : volume de la sphère parfaitement conductrice équivalente.
4/3 p (½d)3 : volume  vrai d'un atome supposé sphérique de diamètre d.
4/3 p (½d)3  > a. Soit 1,5 p d3 > a.






A partir de (1), écrire la polarisabilité a en fonction de la densité volumique nV et de l'indice de réfraction n du milieu.
On rappelle que la densité volumique d'un gaz, notée nV, est le nombre de molécules ( ou de particules) par unité de volume : nV = N / V,
où N est le nombre de molécules contenues dans le volume V. Elle s'exprime en m-3.
m : masse d'un atome ; m = M / NA ; masse de N atomes : m N.
 masse volumique  µ = mN / V  = m nV. ( V : volume occupé par N atomes )
M / (NA µ) = m / µ =1 /
nV.
a = 3 (n2-1) / (
(n2+2)nV ).
Majoration de NA :
Or : lm = 1 / ( p 2½ nV d2) d'où  nV d2 =1/ ( lm p 2½ ).
et nV =3 (n2-1) / ((n2+2) a ).
De plus : 1,5 p d3 > a ; a =1,5 p d3min ;

A.N : lm = 72,6 nm et nAr = 1,0002527.
dmin =2*(1,00025272-1)*72,6 10-9 *1,414/ 
(1,00025272+2)=1,03778 10-10 / 3,0005054 =3,46 10-11 m.
En déduire un majorant de nVmax de la densité volumique de l'argon en fonction de dmin et lm.
nVmax d2min =1/ ( lm p 2½ ). Soit : nVmax  =1/ ( lm p 2½ d2min).
nVmax  =1/ ( 72,6 10-9 *3,14* 2½ *(3,46 10-11)2)= 2,57 1027 m-3.
En appliquant l'équation d'état des gaz parfaits, exprimer un majorant de NA en fonction de p0, R, T0 et nVmax.
Loi des gaz parfaits : p0 V = nRT0  avec n = N / NA.
p0V = NRT0 / NA ; N / V = nVmaxp0 NA / (RT0).
NA  = RT0 nVmax / p0  =8,314 *300* 2,57 1027 / 1,013 105 = 6,4 1025.



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