Aurélie 04/11/09

 

Electricité : varistance, puissance absorbée par un résistor : concours itpe

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.



 


Varistance.
On considère un dipôle nommé varistance, de caractéristique U = C Iß avec U tension aux bornes du dipôle, I intensité du courant qui la traverse, C et ß des constantes positives.
Exprimer C en fonction de I, ß et RS. La résistance statique est définie par RS = U / I.
C = U / Iß ; U =
RS I ; C = RS I / Iß ; C = RS I1-ß.
A.N : I = 0,1 A ; ß =0,2 ; RS=100 ohms.
Calculer  C et U.
C = 100 *0,10,8 =15,85 ~16 V A-0,2.

U = RS I =100*0,1 = 10 V.
Déterminer la relation entre résistance statique et résistance dynamique.
La résistance dynamique est définie par Rd = dU/dI = C ß Iß-1.
Or C =
RS I1-ßRd = ß RS I1-ß  Iß-1= ß RS ; Rd ß RS .



Un générateur de fem E et de résistance interne négligeable débite dans un circuit constitué par une résistance R = 100 ohms et  la varistance précédente placées en série.
Exprimer E en fonction  de U, C et des résistances.
Additivité des tensions : E = RI + U
Or Iß = U/C ; I = (U/C)1/ß ; par suite : E = R(U/C)1/ß + U.


Exprimer  la variation  dE en fonction de dI puis de dU en introduisant Rd.
E = RI + U = RI +C Iß
dE =  RdI + C ß Iß-1 dI = (R + C ß Iß-1 ) dI.
avec dU = Rd dI : dE = (R + C ß Iß-1 ) / Rd dU.
Exprimer le coefficient de stabilisation S défini par S = d (lnE) / d(lnU) en fonction de R, RS et Rd puis en fonction de ß et de x = U/E.
d(lnE) = dE / E ; d(lnU) = dU / U ; S = U / E dE/dU.
dE/dU = (R + C ß Iß-1 ) / Rd
S = U (R + C ß Iß-1 ) / (ERd) avec CIß-1  = U/I = RS.
S = U( R +
RSß) / (ERd) avec Rd ß RS.
S =
U( R +Rd) / (ERd) = U/E ( R /Rd+1).
S = x ( R /Rd+1).
R= (E-U) / I ; 
Rd =ß RS=ßU / I ; R /Rd =(E-U) / (ßU) = (E/U-1) / ß = (x-1) / ß.
par suite :
R /Rd+1= (x-1) / ß +1et S = x [(x-1) / ß +1 ].
Calculer S en fonction de x si ß = 0,2.
S = x[(x-1) / 0,2 +1]= x [5(x-1)+1] = x (5x-4).

Si on remplace la varistance par un résistor de résistance R',
montrer que le montage avec varistance est supérieur au montage avec le résistor en ce qui concerne la stabilisation en tension lorsque E varie  légèrement autour de sa valeur nominale.
U = R'I ; E = RI+U = RU / R' + U ; E = U( R / R' +1)
dE = dU( R / R' +1)
S = U/E (R / R' +1) ; S = x(R / R' +1)
R = (E-U)/I ; R' = U/I ; R/R' =(E-U) / U = E/U-1 = x-1
R / R' +1 = x ; S = x2.
Le coefficient de stabilisation S est bien supérieur dans le cas de la varistance.



 

 



Un générateur de résistance interne R0 délivre une fem sinusoïdale e(t) de pulsation w et d'expression e(t) = 2½E  sin(wt). Il est relié aux bornes d''un résistor de résistance R.
Donner l'expression de la puissance moyenne P(R), dissipée dans le résistor.
Tension aux bornes du résistor : u(t) = R i(t) = e(t) -R0i(t) ; i(t) = e(t) / (R+R0).
u(t) = R
/ (R+R0) e(t)
Puissance  dissipée dans le résistor : P = u(t) i(t) =
R/ (R+R0)2 e2(t)
Puissance moyenne :

Montrer qu'elle passe par un maximum.
Calculer la valeur Rm correspondante ainsi que  la puissance Pm correspondante.

Dériver P(R) par rapport  à R en posant u = R , v =(R+R0)2 ; u' = 1 , v' = 2(R+R0).
dP/dR =(u'v -v'u)/v2 ;  elle s'annule si 
u'v = v'u ; (R+R0)2 =2R(R+R0) soit Rm = R0.
Si R tend vers zéro, P(R) tend vers zéro ; si R tend vers l'infini, P(R) tend vers zéro : il s'agit donc d'un maximum.
Pm =R0E2 / (4R02)= E2 / (4R0)
A.N  : E = 220 V ; R0 = 10 ohms ; w = 314 rad/s.
Pm =2202 / 40 =1210 W = 1,21 kW.



 




On insère en série avec le résistor une bobine pure d'inductance L=0,1 H.
Calculer en fonction de R la puissance P' dissipée dans le résistor.
Impédance du dipole R+R0 L : Z = [(R+R0)2 +(Lw)2]½.
intensité efficace I =E / Z = E [(R+R0)2 +(Lw)2].
P' = RI2 = RE2 / [(R+R0)2 +(Lw)2].
Calculer la valeur R'm pour laquelle elle est maximale.
Dériver P' par rapport  à R en posant u = R , v =(R+R0)2 +(Lw)2 ; u' = 1 , v' = 2(R+R0).
dP/dR =(u'v -v'u)/v2 ;  elle s'annule si 
u'v = v'u ; (R+R0)2 +(Lw)2 =2R(R+R0)
(R +10)2+(0,1*314)2 =2R(R+10)
R2+20 R+100+986=2R2 +20R
 1086 = R2 ; R = R'm =1086½ =32,95 ~ 33 ohms.
Montrer que quel que soit R, le rapport P'/P est inférieur  à 1.
P' = RE2 / [(R+R0)2 +(Lw)2] ; P =RE2 / (R+R0)2 ;
P'/P =(R+R0)2 / [(R+R0)2 +(Lw)2]
Le dénominateur étant toujours supérieur au numérateur, le rapport P'/P est inférieur  à 1.

On branche le générateur précédent aux bornes AB d'un transformateur parfait.

Rapport des valeurs efficaces UCD / UAB = U2/U1 = n.
La puissance moyenne au primaire est égale  à celle du secondaire.
Le facteur de puissance est égal  à l'unité aussi bien au primaire qu'au secondaire.
Déterminer le rapport des valeurs efficaces ICD / IAB = I2/I1.
Puissance apparente au primaire : U1 I1
Puissance apparente au secondaire : U2 I2.
U1 I1= U2 I2 d'où : I2 / I1 = U/ U2 = 1/n.
Exprimer la puissance absorbée par  le résistor en fonction de n, E, R  et R0.
Le résistor apsorbe la puissance  P = R I22 ;
U1 = E-R0I1 = U2 /n =RI2/n avec I1 = n I2.
E-R0 n I2 =RI2/n ; I2 = E / [R0 n +R/n]=nE / [R0 n2 +R]
P =RE2n2 / [R0 n2 +R]2.
Pour quelle valeur de n cette puissance est-elle maximale ?
Dériver P par rapport  à n et annuler cette dérivée.
On pose u = n2 , v = [R0 n2 +R]2 ; u' = 2n , v' = 2[R0 n2 +R]2R0n
DP/dn = (u'v -v'u) / v2 = 0 ; u'v =v'u
2n[R0 n2 +R]2 =4R0n3[R0 n2 +R]
R0 n2 +R =2R0n2 ; n = (R / R0)½.  




 

.








 


retour -menu