Aurélie 09
/12/09
 

 

Force de Laplace, oscillateur mécanique, amortissement ; induction.

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Question 1.
Une tige AB horizontale, de masse m, de longueur a, peut glisser sans frottement sur deux rails horizontaux. la tige AB est liée à un ressort de constante de raideur k.
 L'origine O de l'axe x correspond à un allongement nul du ressort.


La tige AB permet de fermer le circuit électrique constitué d'une résistance r et d'un générateur de fem E ( les résistances de la tige et des rails sont négligeables devant R).
La tige au repos est placée dans un champ magnétique vertical B.
Etude statique.
Exprimer I, courant traversant la tige, orienté de A vers B, en fonction de E et R
.
I = E/R.
Définir toutes les forces s'exerçant sur la tige AB.
La tige AB, placée dans un champ magnétique et traversée par un courant est soumise à une force de Laplace F.
Poids de la tige, vertical, vers le bas, valeur mg ; action des rails, verticale, vers le haut, opposée au poids.
Tension du ressort, horizontale, vers la gauche, valeur T = k (l-l0) = kx.




Déterminer l'allongement x du ressort en fonction de E, R, B, a et k.
A l'équilibre la tension du ressort et la force de Laplace sont opposées : elles ont même valeur :
kx = I a B = E a B / R ; x = E a B / (R k).

Etude dynamique sans champ magnétique :
Le générateur est enlevé et le circuit est fermé sur lui même.

On lâche la tige AB sans vitesse initiale, depuis une position initiale x(t=0) = x1.

 Déterminer l'équation du mouvement ultérieur de la tige.
La tige AB est soumise  à son poids, à l'action des rails ( opposée au poids) et à une force de rappel exercée par le ressort.
Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe Ox.

 
Montrer que la solution peut s'écrire : x(t) = xm cos ( 2pt/T +f).
x' = -
xm 2p/T sin ( 2pt/T +f) ; x" =-xm (2p/T )2 cos ( 2pt/T +f) avec : w2 = (2p / T )2= k / m.
Repport dans l'équation différentielle :
-xm (2p/T )2 cos ( 2pt/T +f)  + k/m xm cos ( 2pt/T +f) = 0
(
(2p/T )2 -k/m) xmcos ( 2pt/T +f) = 0 est bien vérifiée quel que soit le temps.
x(t) = xm cos ( 2pt/T +f) est la solution générale de l'équation différentielle.
Déterminer T, xm et f.
T = 2p /w =
2p (m / k )½.
A l'instant initial : x(0) = x1 = xm cos f ;
f = 0 et xm = x1( xm est l'amplitude, valeur positive)
 ou bien la vitesse initiale est nulle  : x'(0) = 0 =
-x1 2p/T sin f.






Etude dynamique avec champ magnétique :


En présence du champ magnétique et avec les mêmes conditions de lancement que précédemment, il existe un courant i variable dans le temps, lors du mouvement de la tige.
Déterminer l'équation mécanique du mouvement de la tige en appliquant la seconde loi de Newton à la tige AB. On fera apparaître dans cette équation le courant i ( équation 1).
La tige AB, placée dans un champ magnétique et traversée par un courant est soumise à une force de Laplace F.
Par ces effets électromagnétiques cette force s'oppose à la cause qui lui donne naissance, le déplacement de la tige.
Poids de la tige, vertical, vers le bas, valeur mg ; action des rails, verticale, vers le haut, opposée au poids.
Force de rappel exercée par le ressort  ;
écrire la seconde loi de Newton sur l'axe Ox.

Etude dynamique avec champ magnétique :


En présence du champ magnétique et avec les mêmes conditions de lancement que précédemment, il existe un courant i variable dans le temps, lors du mouvement de la tige.
Déterminer l'équation mécanique du mouvement de la tige en appliquant la seconde loi de Newton à la tige AB. On fera apparaître dans cette équation le courant i ( équation 1).
La tige AB, placée dans un champ magnétique et traversée par un courant est soumise à une force de Laplace F.
Par ces effets électromagnétiques cette force s'oppose à la cause qui lui donne naissance, le déplacement de la tige.
Poids de la tige, vertical, vers le bas, valeur mg ; action des rails, verticale, vers le haut, opposée au poids.
Force de rappel exercée par le ressort  ;
écrire la seconde loi de Newton sur l'axe Ox.

Exprimer l'énergie potentielle Ep, l'énergie cinétique Ec puis l'énergie mécanique Em de la tige.
Energie potentielle élastique : Ep = ½kx2 ;
Les rails sont horizontaux ; cette position est choisie comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur.
Ec = ½mv2 ; Em =
Ep+Ec =½kx2 +½mv2.
Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans le circuit.
Pj = R i2.
  sachant que la puissance mécanique perdue -dEm/dt est dissipée par effet Joule
, écrire la relation  reliant x, dx/dt = v et i .(équation 2)
dEm/dt = kx x' + m v v' = kx v + m v v' ;  avec x' = v = dx/dt et v' = a = x".
- (kx + mx")  v  = R i2. (2)
Exprimer simplement i en fonction de v, a, B et R.
(1) donne  : kx + mx" = i a B
repport dans (2) : i a B v = -R i2 ; a B v = R i ; i = -a B v / R.
Réécrire l'équation mécanique de la tige relaint x, x' et x".
x" + k/m x  = -(a B)2 /(m R) x'.
x" +
(a B)2 /(m R) x' + k/m x = 0.
Préciser la nature du mouvement si le champ magnétique est faible et si le champ magnétique est intense.
Champ magnétique faible : le terme
(a B)2 /(m R) est petit et l'amortissement est faible : mouvement pseudo-périodique.
Champ magnétique fort : le terme (a B)2 /(m R) est grand et l'amortissement est important : mouvement apériodique.








Un conducteur AB peut se déplacer perpendiculairement à deux rails conducteurs parallèles en présence d'un champ magnétique B uniforme d'intensité 1 T tel qu'indiqué sur la figure ci-dessous. La longueur du conducteur AB est de 1 m et sa résistance est de 1 W. Les deux rails de résistance négligeable sont alimentés par un générateur continu E = 10 V et de résistance interne négligeable.
En régime permanent la vitesse du conducteur AB est de 7 m.s-1.

Déterminer le courant circulant dans AB.

La vitesse du conducteur étant constante, le principe d'inertie indique que la somme vectorielle des forces appliquées à AB est nulle.
Le poids et l'action du support se neutralisent.
Le conducteur AB traversé par un courant I et soumis  à un champ magnétique est soumis  à une force de Laplace :



Un conducteur mobile dans un champ magnétique est le siège d'une f.em
d'induction, notée e= B x AB x v = 7 V, qui par ces effets électromagnétiques s'oppose au déplacement du conducteur. Il en résulte un courant induit et une force de Laplace induite telle que :

La tension aux bornes de AB vaut : uAB= E-e = 10-7 = 3 V ; 7 = R i d'où i = 3 A.
Déduire la puissance débitée par la source E.
P = E I = 10*3 = 30  W.
Déterminer la puissance des pertes Joule dissipées dans le conducteur AB.
PJ = R I2 = 1*32 = 9,0 W.
Déterminer la puissance mécanique fournie par le conducteur AB.
F = I x AB x B = 3 *1 *1 = 3 N.
Puissance de cette force : F x v = 3 * 7 = 21 W.
Déterminer la vitesse du conducteur AB pour que la puissance mécanique soit nulle.
La force de Laplace et la vitesse étant colinéaires et de même sens, la puissance mécanique est nulle si la force est nulle, c'est à dire si l'intensité résultante est nulle.
Soit
uAB= E-e =0 ; e = E = 10 V ; e= B x AB x v = 10 V ; v = 10 m/s.











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