Aurélie 02/03/10
 

 

 Pendule, oscillateur mécanique, projectile, concours orthoptie Toulouse 2003.


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Le pendule.
Une masse ponctuelle m  est suspendue à l'extrémité d'un fil sans élasticité dont l'extrémité supérieure est fixée à une poutre.
La masse est écartée de sa position d'équilibre à la position d'altitude z1 pepérér par rapport à son altitude initiale prise comme zéro.
Calculer l'énergie potntiell  du système dans cette position.
L'énergie potentielle initiale est choisie comme origine de l'énergie potentielle.
Epp = mg z1.
Exprimer littérallement la valeur de l'énergie cinétique du système lorsque m repasse par la position d'équilibre.

La tension, perpendiculaire à la vitesse, ne travaille pas ; seul le poids travaille : l'énergie mécanique se conserve.
L'énergie mécanique initiale est sous forme potentielle : mgz1.
L'énergie mécanique finale est sous forme cinétique  Ec = ½mv2.
L'énergie mécanique se conserve :
Ec = ½mv2=mgz1.



Oscillateur mécanique.
On suspend une masse m quasi ponctuelle à l'extrémité inférieure d'un ressort à spires non jointives dont l'extrémité supérieure est attachée  à une poutre. L'extrémité inférieure du ressort initialement en position O se déplace en position L repérée sur un axe vertical orienté vers le bas d'origine O.
On rappelle que la force exercée par le ressort sur la masse m est de la forme :
module de F = k Dl = k x.
Définir ces grandeurs.
Force de rappel ( N) ; k : raideur du ressort ( N m-1) ; x : allongement (m).
 
Représenter sur un schéma les forces s'exerçant sur m et donner la relation entre ces forces.

 

A l'équilibre le poids et la tension du ressort se neutralisent ; ces forces ont le même module : mg = k Dl ; k = mg / Dl.
Vérifions par analyse dimensionnelle l'homogénéité de l'expression.
mg : force soit une masse multipliée par une accélération ; une accélération est une longueur divisée par le carré d'un temps.
[mg] = M L T-2 ; de plus [1/Dl] = L-1 ; par suite [k] = M L T-2L-1  = M T-2.
k s'exprime en kg s-2.

Un solide S de masse m est attaché à l'extrémité droite d'un ressort  à spires non jointives. L'extrémité gauche du ressort est fixée au bâti. Le solide peut glisser sans frottement sur un plan horizontal.
La position du centre d'inertie G de S est repérée sur un axe Ox. A l'équilibre x=0.
On écarte S de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale.
Indiquer sur un schéma les forces s'exerçant sur S et appliquer le théorème du centre d'inertie.
Poids, action du support et force de rappel exercée par le ressort.


Etablir l'équation différentielle caractérisant le mouvement de G.
mx" +kx = 0 ; x" + k/m x =0 ; on pose w02 = k/m d'où x" + w02x = 0.
w0, pulsation propre ; w0 = (k/m)½ ; période propre T0 = 2p / w0 = 2 p (m/k)½.






Projectile.
On considère un boulet de masse m, sortant d'un canon en un point O avec une vitesse v0 faisant un angle a par rapport  à l'horizontale ; a est appelé " angle de tir".


La trajectoire du boulet de canon.
Le boulet est soumis à son poids, à des forces de frottement  ( résistance de l'air ) et à la poussée d'Archimède.
La poussée d'Archimède est négligeable devant le poids ( la masse volumique de l'air est bien inférieure à la masse volumique de l'acier constituant le boulet )
Poids : verticale orientée vers le bas, valeur mg
Poussée : verticale vers le haut, valeur rair g V avec V : volume du boulet et
rair, masse volumique de l'air.
Frottement fluide de sens contraire à la vitesse, module kv ou kv2.
Etablir les équations horaires et l'équation de la trajectoire du boulet. ( la résistance de l'air est négligée).
Le boulet n'est donc soumis qu'à son poids.

A.N : angle de tir : 25° ; portée d = 800 m ; g = 9,81 m s-2.
v20 = gd / sin (2a) ; v0 = [gd / sin (2a)]½ = [9,81*800 / sin 50]½ =101,2 ~ 101 m/s.








Existe t-il un autre angle de tir pour lequel  la portée serait identique à celle obtenue avec un angle de tir de 25 ° ? Si oui lequel ? Justifier.

sin(2a) = gd / v20  = 9,81*800 / 101,22 = 0,7663.
Il existe un angle  ß tel que sin ß = 0,7662 ; ß = 50,0°
d'où
sin(2a) = sin ß
cette équation admet pour solutions :
2a = ß ; a = ½ß = 25°.
2a = p - ß ; a = ½p-½ß =90-25 = 65°.
Il existe deux angles de tir pour une même portée et une même vitesse initiale. Ces deux angles sont complémentaires.







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