Aurélie 18/05/10
 

 

Iode 131, chute, accélération, circuit RLC, résonance : concours orthoptiste université d'Auvergne 2006.


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Iode 131.
Le 26 avril 1986, un accident à la centrale de Tchernobyl provoque l'explosion de l'un des réacteurs. Une très grande quantité de radioéléments est libérée dans l'atmosphère. Parmi les éléments radioactifs rejetés, on trouve de l'iode13153I qui a une demi-vie de 8,0 jours et une radioactivité de type ß-.
La désintégration de l'iode 131 forme du xénon (Xe).
Ecrire l'équation de la désintégration.
13153I ---> AZXe + 0-1e.
Conservation du nombre de nucléons : 131 = 0 +A soit A = 131 ;
conservation de la charge : 53 = -1 + Z soit Z = 54.

Que représente la demi-vie d'un radioélément ? Donner la valeur de la constante radioactive l de l'iode 131.
La demi-vie t½ est la durée au bout de laquelle l'activité initiale est divisée par 2.
l = ln2 / t½ = ln2 / (8*24*3600) = 1,0 10-6 s-1.
Lors de l'explosion, 100 kg d'iode 131 ont été émis dans l'atmosphère.
Expliquer pourquoi la masse molaire de l'iode 131 vaut 131 g/mol.
La masse de l'électron est environ 2000 fois plus petite que celle d'un nucléon. On peut pratiquement confondre masse du noyau et masse de l'atome.
Masse d'une mole d'iode 131 = 131 * masse d'un nucléon * NA ~ 131 * 1,67 10-27 *6 1023 = 131 *10-3 kg = 131 g/mol.


Calculer le nombre de noyaux d'iode dans ce rejet.
N = m/ M NA =100 / 0,131 *6,02 1023 = 4,6 1026 noyaux.
Quelle était l'activité  du rejet d'iode 131 lors de son émission ?
A = l N =
1,0 10-6* 4,6 1026= 4,6 1020 Bq.  

80 % de l'iode émis est retombé près du lieu de l'accident.
Déterminer l'activité de cette quantité d'iode un mois  ( 30 jours ) après l'explosion.
Activité initiale au sol : A0 = 0,8 *
4,6 1020 =3,676 1020 Bq.
Loi de décroissance radioactive : A = A0 exp(-lt) avec l = ln2 / 8,0 =8,664 10-2 j-1 ;
A =3,676 1020 exp(-8,664 10-2 *30) =2,7 1019 Bq.

Chute, accélération.
Dans un puits de mine profond de 500 m, se déplace une cage pesant vide m=5000 kg.
On néglige les forces de frottements et la résistance de l'air et on suppose  g = 10 m s-2 constant.
Quelle serait la durée de la chute de la cage si le câble se rompait au moment où elle est immobile à l'entrée du puits ?
Chute libre sans vitesse initiale : h = ½gt2 ; t = (2h/g)½ = (2*500/10)½ =10 s.
Calculer sa vitesse et son énergie cinétique à son arrivée au fond.
v = gt = 10*10 = 100 m/s.
Ec = ½mv2 = 0,5*5000*104 =2,5 107 J.

Immobile au fond du puits, la cage pleine de charbon pèse 10 t. On veut lui imprimer une vitesse d'ascension de 10 m/s par un mouvement uniformément accéléré durant 20 s.
Quelle traction T le câble va t-il exercer sur la cage pour atteindre cette vitesse ?
a = Dv / Dt = 10 / 20 = 0,5 m s-2.


y = -0,5 *9,8 *sin 15 / 2,71 x2+0,4.
y = -0,468 x2+0,4.
Quel sera le chemin parcouru pour atteindre cette vitesse ?
z = ½at2 = 0,5*0,5*202 =100 m.

Après avoir subi le mouvement précédent, la cage pleine de charbon est animée d'un mouvement uniforme puis arrive sans vitesse au niveau du sol au terme d'un mouvement uniformément retardé d'accélération opposée à celle du départ.
Calculer la durée totale du parcours.
La phase accélérée et déscélérée ont la même durée 20 s et les distances parcourues sont à chaque fois 100 m.
Le mouvement est donc uniforme sur 300 m. La vitesse étant 10 m/s, la durée de cette phase est : 300 / 10 = 30 s.
Soit une durée totale : 20 +30 +20 = 70 s.





Circuit RLC.
Une bobine d'inductance L et de résistance r est montéée en série avec un condensateur de capacité C = 10 µF.Le circuit ainsi constitué est alimenté en régime permanent par un générateur délivrant une tension sinusoïdale u(t) = u0 sin ( 2 p f t), u0 est donnée et f est réglable.
Quelle est la valeur efficace ueff de la tension aux bornes du circuit ( u0 = 2 V)
?
ueff = u0 / 1,414 = 2/1,414 = 1,4 V.

Comment varie l'intensité i(t) traversant le circuit en fonction du temps ?
i(t) = i0 sin ( 2 p f t+ F) avec F une constante.
On fait varier f entre 100 et 200 Hz et on relève pour chaque fréquence la valeur de l'intensité maximum I0. La courbe représentant les variations de I0 en fonction de f augmente de manière monotone entre 100 Hz ( où I0 vaut 20 mA) et 150 Hz ( où I0 vaut 200 mA ), puis décroît de manière monotone entre 150 et 200 Hz.
On trouve I0 = 100 mA pour f = 132 et 165 Hz, et I0 = 140 mA pour f = 140 Hz et 160 Hz.
Expliquer l'allure de cette courbe intensité / fréquence. En particulier, que veut dire son maximum ?
Le dipole RLC est un oscillateur en régime forcé. Lorsque la fréquence de l'excitateur est égale à la fréquence propre du résonateur ( le circuit RLC), on observe un phénomène de résonance d'intensité
A la résonance, l'impédance Z du circuit est minimale, égale à la résistance r.
Déterminer la valeur de L puis celle de r.
Fréquence propre du circuit RLC  : f = 1/(2 p (LC)½)= 150.
150*6,28 ( L * 10-5)½ = 1 ; L = 0,1126 ~0,11 H.
A la résonance  : r = u0 / I0 =  2 / 0,2 = 10 ohms.








Quelle est l'impédance Z du circuit pour f = 150 Hz ?
A la résonance, l'impédance Z du circuit est minimale, égale à la résistance r.

A quelle fréquence entre 100 et 200 Hz l'impédance Z est-elle maximale ? Quel élément du circuit y contribue le plus ?


Z = ueff / Ieff  ;
ueff étant constant, à une grande impédance correspond une faible intensité. A 100 Hz l'intensité est la plus faible ( 20 mA), l'impédance est donc la plus grande.
A basse fréquence ( 100 Hz) l'impédance du condensateur est bien plus grande que celle de la bobine.
Condensateur : 1/(2pfC) = 1/(628 10-5) ~159 ohms
Bobine : (r2+
(2pfL)2)½ =(100+(628*0,11)2)½ ~70 ohms.
Déterminer le facteur de qualité Q du circuit. En jouant sur quel composant du circuit pourrait-on l'améliorer ?
La bande passante ( ensemble des fréquences telles que l'intensité soit supérieure à 200/1,414 ~140 mA) est égale à Df = 20 Hz. La fréquence propre est f = 150 Hz.
Le facteur de qualité vaut Q = f / Df = 150/20 = 7,5.
Seule la résistance r peut varier : en diminuant la valeur de r, le facteur de qualité augmente.







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