Aurélie 07/12/09
 

 

 Prisme : dispersion ; force de Laplace, concours orthoptie Nantes 2009.


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Etude d'un prisme
Un sprisme possède un indice n qui dépend de la longueur d'onde l selon la loi : n = A +B/l2.
A = 1,52 ; B = 1,700 104 nm2 ; a= 60° ; ce prisme est éclairé par un faisceau bichromatique : l1 = 750 nm et l2 = 400 nm.

Déterminer n(l1) et n(l2) avec la précision appropriée.
n(l1) = 1,520 + 1,700 104 / 7502 =1,55022~ 1,550.
n(l1) = 1,520 + 1,700 104 / 7502 =1,62625~ 1,626.
Calculer i1 et i2 ( l'angle d'incidence  i vaut i = 40 ° ; l'indice de l'air est égal  à 1).
Réfraction sur le dioptre air-verre. Loi de Descartes : sin 40 =
1,55022 sin r1 ;
sin r1 =0,4146 ; r1 =24,5°.
Réfraction sur le second dioptre verre-air : angle d'incidence i'1 : a + b = 180 ; b = 120° ;
b +r1+i'1 = 180
i'1 =60-24,5 = 35,5 °.
1,55022 sin i'1 = sin i1 ; sin i1 = 0,900 ; i1 = 64,186 ° ~ 64°.
Calcul identique avec l'autre radiation ( n = 1,62625).
sin 40 = 1,62625 sin r2 ; sin r2 =0,3952 ; r2 =23,28°.
Réfraction sur le second dioptre verre-air : angle d'incidence i'2 : a + b = 180 ; b = 120° ;
b +r2+i'2 = 180
i'2 =60-23,28 = 36,72 °.
1,62625 sin i'2 = sin i2 ; sin i2 = 0,9722 ; i2 = 76,48 ° ~ 76°
Citer le phénomène responsable de l'élargissement du faisceau. Précier les couleurs des deux longueurs d'onde.
Le prisme est un milieu dispersif pour la lumière.
400 nm : violet ; 750 nm : rouge.


Si l'angle d'incidence i est trop petit, le rayon entrant dans le prisme ne peut pas émerger après double réfraction.
Justifier et calculer l'angle limite d'incidence.
Sur le second dioptre verre-air, l'angle limite d'incidence est tel que  sin i'1 lim = nair / nprisme = 1/1,55022 =0,645 ;
 i'1 lim =40,17 °.
Si  l'angle d'incidence est supérieur à 
i'1 lim  , il y a réflexion totale sur le second dioptre.
angle de réfraction sur le premier dioptre : r1 = 60 -
i'1 lim =60-40,17 = 19,83
sin i = 1,55022 sin r1 =1,55022 sin 19,83 =0,526 ; i = 31,7 ~ 32°.
Calcul identique avec l'autre longueur d'onde ( indice : n = 1,62625).
sin i'2 lim = nair / nprisme = 1/1,62625 =0,615 ;
 i'2 lim =37,95 °.
angle de réfraction sur le premier dioptre : r2 = 60 - i'2 lim =60-37,95 = 22,05
sin i = 1,62625 sin r2 =1,62625 sin 22,05 =0,611 ; i = 37,6 ~ 38°.

 
Question 2
Une tige AB horizontale, de masse m, de longueur a, peut glisser sans frottement sur deux rails horizontaux. la tige AB est liée à un ressort de constante de raideur k.
 L'origine O de l'axe x correspond à un allongement nul du ressort.


La tige AB permet de fermer le circuit électrique constitué d'une résistance r et d'un générateur de fem E ( les résistances de la tige et des rails sont négligeables devant R).
La tige au repos est placée dans un champ magnétique vertical B.
Etude statique.
Exprimer I, courant traversant la tige, orienté de A vers B, en fonction de E et R
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I = E/R.
Définir toutes les forces s'exerçant sur la tige AB.
La tige AB, placée dans un champ magnétique et traversée par un courant est soumise à une force de Laplace F.
Poids de la tige, vertical, vers le bas, valeur mg ; action des rails, verticale, vers le haut, opposée au poids.
Tension du ressort, horizontale, vers la gauche, valeur T = k (l-l0) = kx.

Déterminer l'allongement x du ressort en fonction de E, R, B, a et k.
A l'équilibre la tension du ressort et la force de Laplace sont opposées : elles ont même valeur :
kx = I a B = E a B / R ; x = E a B / (R k).






Etude dynamique sans champ magnétique :
Le générateur est enlevé et le circuit est fermé sur lui même.

On lâche la tige AB sans vitesse initiale, depuis une position initiale x(t=0) = x1.

 Déterminer l'équation du mouvement ultérieur de la tige.
La tige AB est soumise  à son poids, à l'action des rails ( opposée au poids) et à une force de rappel exercée par le ressort.
Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe Ox.

 
Montrer que la solution peut s'écrire : x(t) = xm cos ( 2pt/T +f).
x' = -
xm 2p/T sin ( 2pt/T +f) ; x" =-xm (2p/T )2 cos ( 2pt/T +f) avec : w2 = (2p / T )2= k / m.
Repport dans l'équation différentielle :
-xm (2p/T )2 cos ( 2pt/T +f)  + k/m xm cos ( 2pt/T +f) = 0
(
(2p/T )2 -k/m) xmcos ( 2pt/T +f) = 0 est bien vérifiée quel que soit le temps.
x(t) = xm cos ( 2pt/T +f) est la solution générale de l'équation différentielle.
Déterminer T, xm et f.
T = 2p /w =
2p (m / k )½.
A l'instant initial : x(0) = x1 = xm cos f ;
f = 0 et xm = x1( xm est l'amplitude, valeur positive)
 ou bien la vitesse initiale est nulle  : x'(0) = 0 =
-x1 2p/T sin f.








Etude dynamique avec champ magnétique :


En présence du champ magnétique et avec les mêmes conditions de lancement que précédemment, il existe un courant i variable dans le temps, lors du mouvement de la tige.
Déterminer l'équation mécanique du mouvement de la tige en appliquant la seconde loi de Newton à la tige AB. On fera apparaître dans cette équation le courant i ( équation 1).
La tige AB, placée dans un champ magnétique et traversée par un courant est soumise à une force de Laplace F.
Par ces effets électromagnétiques cette force s'oppose à la cause qui lui donne naissance, le déplacement de la tige.
Poids de la tige, vertical, vers le bas, valeur mg ; action des rails, verticale, vers le haut, opposée au poids.
Force de rappel exercée par le ressort  ;
écrire la seconde loi de Newton sur l'axe Ox.

Exprimer l'énergie potentielle Ep, l'énergie cinétique Ec puis l'énergie mécanique Em de la tige.
Energie potentielle élastique : Ep = ½kx2 ;
Les rails sont horizontaux ; cette position est choisie comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur.
Ec = ½mv2 ; Em =
Ep+Ec =½kx2 +½mv2.
Exprimer la puissance dissipée par effet Joule dans le circuit.
Pj = R i2.
  sachant que la puissance mécanique perdue -dEm/dt est dissipée par effet Joule
, écrire la relation  reliant x, dx/dt = v et i .(équation 2)
dEm/dt = kx x' + m v v' = kx v + m v v' ;  avec x' = v = dx/dt et v' = a = x".
- (kx + mx")  v  = R i2. (2)
Exprimer simplement i en fonction de v, a, B et R.
(1) donne  : kx + mx" = i a B
repport dans (2) : i a B v = -R i2 ; a B v = R i ; i = -a B v / R.
Réécrire l'équation mécanique de la tige relaint x, x' et x".
x" + k/m x  = -(a B)2 /(m R) x'.
x" +
(a B)2 /(m R) x' + k/m x = 0.
Préciser la nature du mouvement si le champ magnétique est faible et si le champ magnétique est intense.
Champ magnétique faible : le terme
(a B)2 /(m R) est petit et l'amortissement est faible : mouvement pseudo-périodique.
Champ magnétique fort : le terme (a B)2 /(m R) est grand et l'amortissement est important : mouvement apériodique.









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