Aurélie 31/05/10
 

 

L'énergie nucléaire : concours général 2010.

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La majeur partie de l'électricité consommée aujourd'hui en France est d'origine nucléaire, produite dans des centrales mettant en oeuvre la fission de l'uranium. Une autre voie est envisagée et étudiée actuellement, la fusion nucléaire ; un réacteur expérimental, fruit de la coopération au niveau mondial de grands pays industrialisés, est en construction à Cadarache.
L'objectif, dans cette partie, est de mettre en perspective ces deux principes, à l'aide d'un modèle élémentaire du noyau atomique et de dégager quelques ordres de grandeur.
Composition d'un noyau atomique.
Quelles sont les particules élémentaires constitutives du noyau atomique.
Le noyau de l'atome AZX comprend Z protons et A-Z neutrons.
Que désignent les nombres Z et A ? Comment les nomme -on ?
Z : nombre de charge ( numéro atomique)  ; A : nombre de masse, nombre de nucléons, protons + neutrons.

Donner la composition des noyaux 23592U, 11H, 42He.
23592U : 92 protons, 235-92 =143 neutrons
 11H : 1 proton, aucun neutron ;  42He : 2 protons, 2 neutrons.

Pourquoi 235U et 238 U sont-ils désignés par la même lettre symbole ? Comment nomme t-on cette propriété ?
Ces deux noyaux possèdent le même numéro atomique Z = 92 : ils appartiennent à la même case du tableau périodique. Ils ne se différencient que par leur nombre de neutrons : ce sont deux isotopes de l'uranium.
Citer un autre couple de noyaux ayant cette propriété, utilisé en datation d'organismes vivants.
Le carbone 12 et le carbone 14 : 12C et 14C.
Comment nomme t-on la différence Dm entre la somme des masses des particules constituant un noyau et la masse de ce noyau ?
Dm est le défaut de masse du noyau.


On définit B = Dm c2 où c est la célérité de la lumière dans le vide. B est une fonction de A et de Z, appelée énergie de liaison du noyau.
Exprimer B(A, Z) en fonction de c, Z et A de la masse du noyau M et des masses des particules élémentaires.
Dm =Z mproton + (A-Z) mneutron - M
B(A, Z) =
Dm c2 = [ Z mproton + (A-Z) mneutron -M] c2.
Quel est le signe de B ? Justifier.
L'énergie de liaison est
l'énergie qu'il faut fournir à ce noyau au repos pour le dissocier en ses  nucléons isolés et au repos : le système, le noyau, recçoit  l'énergie B( A, Z) : B est comptée positivement.  

Interactions dans un noyau.
Le noyau est le siège de deux interactions fondamentales : l'interaction forte qui s'exerce entre les nucléons, l'interaction électromagnétique qui s'exerce entre les particules chargées.
Quelles sont les deux autres interactions fondamentales présentes dans la nature ?
La gravitation  ( Newton ) ( interaction toujours attractive ) entre les masses ; elle gère l'infiniment grand ; elle est négligeable dans l'infiniment petit.
L'interaction faible responsable de la radioactivité  ß.
Quels sont parmi les nucléons, ceux qui subissent l'interaction électromagnétique ?
Les protons chargés positivement, subissent l'interaction électromagnétique. Les neutrons, électriquement neutres, ne subissent pas cette interaction.
Au sein du noyau, l'interaction électromagnétique est-elle attractive ou répulsive ?
Les protons ont tous une charge positive : l'interaction électromagnétique entre protons est donc répulsive.

Les physiciens du XXème siècle ont établi une expression de la loi ( B(A, Z) qui donne de bons résultats sur la plupart des noyaux naturels et artificiels, en assimilant le noyau à une goutte liquide ; on parle du modèle de la goutte. On raisonne ici dans le cas d'un noyau à géométrie sphérique, contenant un grand nombre de nucléons ; son volume peut être considéré comme proportionnel à A.
La loi B(A, Z) suivante est proposée où a1, a2, a3 et a4 sont des coefficients positifs :
B(A, Z) = a1 A -a2 A2/3 - a3 Z2 / A1/3 -a4(A-2Z)2 / A.
Nous désirons ici l'interpréter.
L'interaction forte étant indifféremment attractive pour l'un ou l'autre type de nucléons, on peut considérer que ceux-ci contribuent par leur nombre à stabiliser le noyau, d'où le premier terme proportionnel à A. Mais il faut tenir compte de l'effet de surface : les nucléons situés en périphérie du noyau n'ont pas autant de voisins que ceux qui se trouvent au coeur.
Proposer une justification simple au signe du second terme.
Les nucléons du noyau sont liés par l’interaction nucléaire. En surface les nucléons ont moins de voisins avec qui interagir, ce qui diminue l'énergie de liaison.
En invoquant une propriété géométrique de la sphère, justifier sommairement l'exposant 2/3.
Le noyau est sphérique de rayon R0 ; le noyau est de plus compact ( son volume est proportionnel au nombre de nucléons A ). Par suite R0 est proportionnel à A1/3.
L'énergie de surface est proportionnelle à la surface du noyau : la surface de la sphère est proportionnelle au carré du rayon, soit à A2/3.
Les deux derniers termes correspondent à d'autres effets que l'interaction forte :
- l'un est lié à l'existence de l'interaction électromagnétique,
- l'autre est dû à une dissymétrie des rôles joués par les deux familles de nucléons.
Identifier le terme d'origine électromagnétique et préciser le choix.
La répulsion coulombienne existe entre les protons chargés positivement. On considère le noyau comme une sphère de densité de charge iniforme.
L'énergie potentielle correspondante à cette distribution de charge est proportionnelle au carré de la charge totale Q =e Z ; cette énergie est proportionnelle à Z2 . Seul le 3ème terme convient.
Interpréter l'exposant du dénominateur de ce terme. Justifier son signe.
L'énergie potentielle de la distribution de charge précédente est inversement proportionnelle au rayon de la sphère ( A1/3).
Quant au signe moins : la répulsion entre protons diminue l'énergie de liaison.

Energie de liaison par nucléon.
On appelle énergie de liaison par nucléon la quantité El = B(A, Z ) / A, où B est la loi écrite précédemment, avec les valeurs numériques approximatives :
a1 = 15,6 MeV ; a2 = 17,2 MeV ; a3 = 0,70 MeV ; a4 = 23,6 MeV.
Pour A = 56, tracer le graphe B(A, Z) lorsque Z varie de 20 à 30. Commenter en indiquant où se trouvent les noyaux les plus stables ?
B(A, Z) = 15,6 A -17,2 A2/3 - 0,70 Z2 / A1/3 -23,6(A-2Z)2 / A.
B(A, Z) = 15,6*56 -17,2 *562/3 - 0,70 Z2 / 561/3 -23,6 (56-2Z)2 / 56.
B(A, Z) = 873,6-251,8-0,18 Z2 -0,42(56-2Z)2 ;
B(A, Z) = 621,8-0,18 Z2 -0,42(56-2Z)2 ;
Z
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
B(A, Z) en MeV
442
460
479
485
491
494
493
489
481
469
453

Le nombre de nucléons A étant constant, les noyaux les plus stables possèdent la plus grande énergie de liaison ( Z= 24, 25 ou 26 ).
Pour une valeur de A fixée, plusieurs valeurs de Z sont possibles.
En étudiant la variation  de B(A, Z) avec Z, déterminer une expression de Zm de Z donnant le noyau le plus stable.
On ne se préoccupera pas ici du caractère nécessairement entier de Z.
B(A, Z) = 15,6 A -17,2 A2/3 - 0,70 Z2 / A1/3 -23,6(A-2Z)2 / A.
Calculer la dérivée  : dB(A,Z) / dZ = - 1,40 Z / A1/3 +94,4 (A-2Z) / A.
La dérivée s'annule pour : 1,4 A Zm =
94,4 (A-2Zm) A1/3 = 94,4 A4/3 -188,8 A1/3Zm ;
Z
m (1,4 A +188,8 A1/3 ) = 94,4 A4/3  ; Zm = 94,4 A4/3 / (1,4 A +188,8 A1/3 ) = 94,4 A / (1,4 A2/3 +188,8  ).
Dans la composition d'un tel noyau, quelle famille de nucléons domine ?
On va comparer Zm, nombre de protons et A-Zm , nombre de neutrons.
A- Zm = A- 94,4 A / (1,4 A2/3 +188,8  ) = A [ 1-94,4  / (1,4 A2/3 +188,8  ) ]
Le second terme est inférieur à 1 : donc A est supérieur à
Zm ; ces noyaux possèdent plus de neutrons que de protons.
A.N : A = 56 ;
Zm =94,4 *56 / (1,4 *562/3 +188,8  ) ~ 25.
Quel résultat pour Zm aurait donné le cas où a3=0 ?
B(A, Z) = 15,6 A -17,2 A2/3 -23,6(A-2Z)2 / A.
Calculer la dérivée  : dB(A,Z) / dZ = 94,4 (A-2Z) / A.
La dérivée s'annule pour :  Zm =½A.
A.N : A = 56 ; Zm =28.

Dans cette question, on s'intéresse à des noyaux possédant le même nombre de chacun des nucléons.
Comment varierait El = B(A, Z ) / A, si seul le cefficient a1 était présent ?
El = B(A, Z ) / A = a1 A / A = a1, valeur constante.
Esquissez l'allure du graphe
El = B(A, Z ) / A  = f(A) en tenant compte de tous les termes pour A < 250.
El = B(A, Z ) / A = 15,6  -17,2 / A1/3 - 0,70 Z2 / A4/3 -23,6(1-2Z / A)2 avec Z =0,5 A.
El 15,6  -17,2 / A1/3 - 0,70 *0,25 A2 / A4/3 ;  El 15,6  -17,2 / A1/3 - 0,70 *0,25 A2/3 ;

A15102040100150200250
El (meV /nucléon)-1,85,17,2188,68,17,456,75,9


Le fer est l'élément le plus stable ; les petits noyaux instables fusionnent ; les gros noyaux instables se cassent en noyaux plus petits et plus stables.

Dans la suite on admettra que l'allure obtenue ci-dessus est encore valable, si l'on modifie un peu la relation entre Z et A tout en conservant Z proche de Zm.





Fission nucléaire :
De multiples réactions de fission peuvent être évoquées dans le cas de l'uranium. Nous nous contenterons ici de l'exemple :

23592U + 10n ---> 9438Sr + xyXe + 2 10n.
Déterminer x et y en justifiant.
Conservation du nombre de nucléons : 235+1 = 94 +2 + x ; x = 140.
Conservation du nombre de charge : 92 =38+y ; y = 54.
Partant  d'un noyau fissile lourd, on forme des noyaux plus légers ; peut-on interpréter ce résultat à l'aide de la courbe El =f(A) obtenue précédemment ?
Les noyaux fils sont plus stables.


Une seule particule 10n figure dans les réactifs, tandis que l'on en compte deux dans les produits. Une fois la réaction amorcée, quel type de déroulement devient possible pour la réaction ?
Une réaction en chaîne : un neutron  provoque la fission d'un atome d'uranium 235: il en résulte un plus grand nombre de neutrons qui à leur tour causent d'autres fissions.
Sur la base de ce qui précède, en quoi diffèrent les conditions de mise en oeuvre de ces réactions dans les domaines civil et militaire ?
Dans le domaine civil, la réaction en chaîne est contrôlée et peut être arrêtée. Dans le domaine militaire, la réaction en châine doit conduire à une explosion nucléaire.
Calculer l'énergie de liaison par nucléon de chacun des noyaux intervenant dans la réaction de fission ci-dessus.
9438Sr : El = B(A, Z ) / A = 15,6  -17,2 / A1/3 - 0,70 Z2 / A4/3 -23,6(1-2Z / A)2 avec A = 94 et Z = 38.
El =15,6 -17,2 / 941/3 - 0,70 *382 / 944/3 -23,6(1-2*38 / 94)2 = 8,57 MeV /nucléon.
 14054Xe : El =15,6 -17,2 / 1401/3 - 0,70* 542 / 1404/3 -23,6(1-2*54 / 140)2 = 8,24 MeV/nucléon.
En déduire l'énergie libérée par la réaction, qui est égale à la différence entre les énergies de liaison finales et initiales.
 23592U : El =15,6 -17,2 / 2351/3 - 0,70 *922 / 2354/3 -23,6(1-2*92 / 235)2 = 7,61 MeV/nucléon.
E réaction =8,24 * 140 + 8,57*94 -235*7,61 ~171 MeV.
La valeur usuellement retenue est 185 MeV. Commenter la pertinence du modèle de la goutte.
L'écart relatif est de l'ordre de (185-171) / 185 =  7,6 %. Le modèle simple de la goutte donne d'assez bons résultats, néanmoins il faudrait l'améliorer en prenant en compte l'aspect quantique des nucléons.







Fusion nucléaire.

La fusion nucléaire est une réaction au cours de laquelle deux noyaux légers s'unissent pour former un noyau plus lourd. la réaction se fait avec perte de masse et dégagement d'énergie.


On propose l'équation  21Y + 31X ---> baZ + 10n.
La réécrire en précisant les symboles X, Y, Z a et b.
Y et X  représentent l'élément hydrogène de numéro atomique  égal à 1.
Conservation de la charge : 1+1 = a ; a = 2
Conservation du nombre de nucléons : 2+3 = b+1 d'où b = 4.
21H + 31H ---> 42He + 10n.

On rappelle que El / A est l'énergie de liaison par nucléon soit environ : ( daprès la courbe d'Aston)

pour 21H : -2 MeV/nucléons d'où : El(21H) = 2*(-2 ) = -4 MeV ;
pour 31H : -3 MeV/nucléons d'où : El(31H) = 3*(-3 ) = -9 MeV ;
pour 42He : -7 MeV/nucléons d'où : El(42He) = 4*(-7 ) = -28 MeV ;
Energie mise en jeu par la réaction de fusion ci-dessus : El(42He) -El(31H )-El(21H) = -28+9+4 = -15 MeV.
Où dans l'univers ce type de réaction a-t-il lieu ?
Les étoiles, le soleil tirent leur énergie de réaction de fusion nucléaire. Les produits issus de la fusion ( noyau d'hélium, neutron, photon ) emporte cette énergie sous forme cinétique et électromagnétique pour les photons.
Aspects environnementaux.

Quelles précautions nécessitent la récupération et le stockage des déchets produits dans un réacteur nucléaire.
Les déchets radioactifs sont classés selon l’intensité de leur radioactivité et la demi-vie des atomes radioactifs qu’ils contiennent. Les dangers sont liés aux rayonnements nocifs émis par les éléments radioactifs qu’ils renferment.
Les déchets sont isolés de la biosphère par des écrans, des barrières de confinement. Ils ne doivent pas être mis en contact avec l'eau ; les barrières de confinement doivent résister aux séismes ; ils doivent être surveillés : si une barrière se dégrade, un autre doit prendre le relais.

Comment nomme t-on le temps caractéristique utilisé pour estimer la durée de la nocivité d'une des substances produites ?
La période radioactive ou demi-vie : temps mis par une substance pour voir son activité diminuer de moitié.
Dans le cas de la fission et dans le cas de la fusion, les problèmes de disponibilité des matières premières ( abondance, épuisement ) sont-ils identiques ?
Le deutérium est disponible naturellement en grandes quantités dans les océans, mais son extraction est assez complexe. Le tritium est préparé artificiellement.
L'uranium est une ressource non renouvelable : son exploitation  est souvent économiquement d'un côut élevé.


 







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