Aurélie 23/03/10
 

 

 Câble coaxial, concours inspecteur répression des fraudes 2009.


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Un câble coaxial rectiligne  est constitué par un conducteur cylindrique homogène plein (appelé l’âme)  parcouru par un courant axial et par un conducteur coaxial creux, parcouru par le courant de retour. On note r la résistance par unité de longueur.
Les deux conducteurs sont séparés par un matériau isolant dont la faible conductivité est à l’origine d’un courant de fuite qui circule radialement entre les deux conducteurs. On note gf  la conductance de fuite par unité de longueur. Données : r = 10 mW m-1 ; gf =1,0 10-10 S m-1. 

Soient u(x) la tension entre les deux conducteurs à l’abscisse x, et i(x) l’intensité du courant dans l’âme (figure 2b).
Comme l’indique la figure 2b, une longueur élémentaire dx de câble a une résistance rdx et une conductance de fuite gf dx.

 Utiliser les indications de la figure 2b pour établir la relation entre l’intensité et la dérivée première du/dx de la tension.
Additivité des tensions : u = u+du + rdx i ; du +rdx i = 0 ; i = -1/r du/dx (1).
Etablir la relation entre la tension et la dérivée première de l’intensité (on négligera le terme du deuxième ordre qui apparaît).
u + du = -di / ( gfdx) = -1/
gf  di/dx  ; le terme du est négligeable compte tenu de la longueur du câble.
u ~
-1/gf  di/dx (2)
 En déduire l’équation différentielle suivante : d2u/dx2-u/L2 =0.
Dériver (1) par rapport à x : di/dx = -rd2u/dx2 puis tenir compte de (2) :
-1/r d2u/dx2 = -gf  u.
d2u/dx2 -rgf  u = 0 ; on pose L = 1/(rgf)½.
Exprimer la constante L, préciser sa dimension, puis calculer sa valeur.
 
L = 1/(rgf)½ ; r est en W m-1 ; gf est en S m-1 soit W-1 m-1 ; rgf est en m-2 ; (rgf)½ est en m-1 ; L = 1/(rgf)½ est en mètre.
L = (0,01 * 10-10) =1,0 106 m.
Une extrémité du câble, qui est de très grande longueur, est reliée à une source de tension continue U0.
On note  u(0)=U0 .
Intégrer l’équation différentielle et en déduire l’expression de la tension u(x).
Solution générale de l'équation différentielle : u(x) = A exp(x/L) + B exp(-x/L) avec A et B des constantes.
u(0) = U0 = A + B.
i = - 1/r du/dx = -1/r [ A / L
exp(x/L)-B / Lexp(-x/L)] ; i(L) = 0 = -1/(rL) [ A exp(1)-B Lexp(-1)]
A exp(1)=B Lexp(-1) ; B = A exp(2)
par suite : A = U0 / ( 1+exp(2)) ; B =U0 exp(2) / ( 1+exp(2)).
Exprimer l’intensité i(x). Montrer qu’il apparaît une résistance caractéristique  Rc et calculer sa valeur.
Rc = u(x) / i(x) ; u(x) =
U0 / ( 1+exp(2)) [ exp(x/L) + exp(2)exp(-x/L) ]
i(x) = -U0/(Lr( 1+exp(2)))  [   exp(x/L)- exp(2) exp(-x/L)]
Rc = -Lr
[ exp(x/L) + exp(2)exp(-x/L) ] / [   exp(x/L)- exp(2) exp(-x/L)]
Rc(0) = Lr[1+
exp(2)] / [exp(2)-1] = Lr coth(2)
Rc(0) = 1,0 106 *0,01 = 1,3 104 W.


On considère maintenant un câble de même nature et de longueur h, qui relie la source de tension continue U0 (en x=0) à l’entrée verticale d’un oscilloscope d’impédance d’entrée considérée comme infinie.
Quelle est la valeur de l’intensité i(h) ?
i(h) = 0

Montrer que la tension s’écrit : u(x) = U0 ch((h-x) / L) / ch((h/L) . On rappelle que : ch(a) = ½(ea+e-a).
i(h) = 0 ;
i(h) = -U0/(Lr( 1+exp(2)))  [   exp(h/L)- exp(2) exp(-h/L)] = 0.
d'où :
exp(h/L)- exp(2) exp(-h/L) =0 soit : exp(2) = exp(2h/L)
Repport dans u(x) :
u(x) =U0 / ( 1+exp(2h/L)) [ exp(x/L) + exp(2h/L)exp(-x/L)].

 Exprimer l’intensité i(x). On rappelle que : d( ch(a) /da = sh(a).
i = - 1/r du/dx =
U0 sh((h-x)/L) / (rL ch(h/L) ).
Exprimer la résistance d’entrée du câble définie par la relation : R0 = u(0) / i(0).
u(0) = U0 ; i(0) =U0 th (h/L) / (rL) ;  R0 =r L / th (h/L).
Que peut-on dire du rapport h/L ? Simplifier alors l’expression précédente. Calculer R0. 
Donnée : h=1,0 m. On rappelle que sh(a)~ a  et que ch(a) ~ 1 quand a <<1.
h/L <<1 ;
th (h/L) ~ h/L ; R0 ~r L2 / h =0,01 * 1012 = 1010 W.
Exprimer puis calculer la puissance P consommée dans le câble. Conclure.
dp = u(x) i (x) =-1/ r u(x)du(x) /dx = -1/(2r) d(u2(x)) ;
intégrer entre 0 et h :  

Or h/L <<1 : ch(2h/L) ~1 et P ~ 0 W.

On suppose maintenant qu’à cause d’un défaut, l’extrémité du câble reliée à l’entrée verticale de l’oscilloscope est en court-circuit.
Quelle est la valeur de la tension  ucc(h) ?
ucc(h) = 0.
Etablir les expressions de la tension ucc(x), de l’intensité icc(x), de la résistance d’entrée Rcc0 du câble.
u(x) =
U0 / ( 1+exp(2)) [ exp(x/L) + exp(2)exp(-x/L) ]
u(h) =0 =
U0 / ( 1+exp(2)) [ exp(h/L) + exp(2)exp(-h/L) ] ; 
exp(h/L) + exp(2)exp(-h/L) = 0 ; exp(2) = - exp(2h/L)
u(x) =
U0 / ( 1- exp(2h/L) ) [ exp(x/L) - exp(2h/L) exp(-x/L) ]

i = - 1/r du/dx =U0 ch((h-x)/L) / (rL sh(h/L) ).
u(0) = U0 ; i(0) =U0 coth (h/L) / (rL) ;
Rcc0 =r L / coth (h/L) = rL th (h/L)
h/L <<1 ;
th (h/L) ~ h/L ; Rcc0 ~r h =0,01  W.
Exprimer puis calculer la puissance Pcc consommée dans le câble. Commenter.
dp = u(x) i (x) =-1/ r u(x)du(x) /dx = -1/(2r) d(u2(x)) ; intégrer entre 0 et h : 

La puissance est perdue par effet Joule.






On considère un conducteur cylindrique homogène de grande longueur, de rayon R, parcouru par un courant axial homogène d’intensité constante I. Le courant circule dans le sens des z croissants.

Soit z’z l’axe de symétrie. On utilisera la base de vecteurs unitaires  (voir figure 3).


Exprimer la densité de courant dans le conducteur.
 
La densité de courant est j=I/(pR²), R rayon du câble.
   Quelle est l’orientation du champ magnétique créé par le courant ?
Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
L'axe Oz est axe de symétrie du système ; une rotation autour de cet axe ne modifie pas le champ : la variable q n'intervient donc pas dans l'expression du champ.
Toute translation le long de l'axe Oz, ne modifie pas le champ :
la variable z n'intervient donc pas dans l'expression du champ.
Tout plan contenant l'axe Oz est plan d'antisymétrie : le champ appartient donc au plan contenant l'axe Oz et le point M d'où : Bq( r, z) =0.
Le champ est orthoradial :
B(M) = B( r, t) eq.

Exprimer le champ magnétique à la distance r de l’axe en fonction la norme j du vecteur densité de courant, de r, de la perméabilité µo du vide et d’un vecteur unitaire. On distinguera deux régions de l’espace et on introduira la norme j du vecteur densité de courant.

point intérieur au câble

En tout point de G le champ magnétique a même module et est tangent à G.
appliquer le th. d'Ampère sur le contour G, cercle de rayon r, l'intensité des courants enlacés par G étant I r²/R²
B 2
p r =m0 I r²/R²
B =
m0 I r / (2p R²) =m0 j r / 2.
point extérieur au câble
appliquer le th. d'Ampère sur le contour G, cercle de rayon r, l'intensité des courants enlacés par G étant I
B 2
p r =m0 I
B =
m0 I / (2p r) =m0 jR2 /(2r).
si r =R on peut constater que le champ magnétique donner par les deux expressions ci dessus a la même valeur. Continuité du champ magnétique lors du passage du conducteur au vide.








On considère maintenant un gaz constitué de protons qui s’écoule en formant dans le vide un faisceau cylindrique d’axe de symétrie z’z et de rayon R. Les protons circulent dans le sens des z croissants. La densité de courant j est constante.
Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
   Un volume élémentaire dt de gaz est soumis à la force magnétique : dFm = j ^ B dt.
 Exprimer cette force en fonction de la norme j du vecteur densité de courant, de la distance r à l’axe, de d
t, de la perméabilité µo du vide, et d’un vecteur unitaire.
Quel est l’effet des forces magnétiques sur le faisceau ?

Sous l'effet des forces magnétiques le faisceau à tendance à imploser.

En régime permanent, le faisceau est en équilibre sous l’effet conjugué des forces magnétiques et des forces de pression. La force due à la pression P qui s’exerce sur un volume élémentaire dt s’écrit :
dFP = -grad P dt.
   
Établir l’équation différentielle que satisfait la pression.
dFP + dFm = 0 ; -½µ0j2 r dt-dP/dr dt = 0
½µ0j2 r  = -dP/dr ; dP = ½µ0j2 r dr = ¼µ0j2 d(r2)
  
Intégrer cette équation ; en déduire la pression P0 sur l’axe.
Intégrer : P= ¼µ0j2r2 + Cste.

Soient n le nombre de protons par unité de volume, v la vitesse d’un proton et e la charge d’un proton.
     
Exprimer la norme j du vecteur densité de courant en fonction de n, e et v.
j = n e v.
     
Calculer la pression P0 avec les données suivantes :
µ0 = 4 p 10-7 H m-1 ; n = 1021 m-3 ; e = 1,6 10-19 C ; v = 1,0 105 m/s ; R = 1,0 m.













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