Aurélie 05/02/10
 

 

 Analogies électromécaniques, concours capes interne 2010.

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On considère un ressort vertical de masse négligeable, à spires non jointives, de constante de raideur k, de longueur à vide L0 fixé à son extrémité supérieure et un corps M de masse m qui est accroché à son extrémité inférieure.

On fait l'étude dans le référentiel R du laboratoire supposé galiléen et les déplacements envisagés sont verticaux.

Déterminer la longueur du ressort à l'équilibre Léq.
M est soumis à son poids, vertical, vers le bas, valeur mg  et à la tension du ressort, verticale, vers le haut, valeur T=k(Léq-L0).
A l'équilibre ces deux forces se compensent : mg =
k(Léq-L0)
mg/k =Léq-L0 ; Léq= L0 +mg / k.
On appelle x le déplacement de M par rapport à sa position d'équilibre ; la longueur du ressort s'écrit à un instant t quelconque : L = Léq+ x.
Après avoir fait un bilan des forces appliquées  àM dans R, déterminer l'équation différentielle ( Eq1) vérifiée par x.
On pose  w20 = k / m.
M est soumis à son poids, vertical, vers le bas, valeur mg  et à une force de rappel, verticale, vers le haut, valeur T= -k(Léq+x-L0).
La seconde loi de Newton conduit à : mg -
k(Léq+x-L0) = m x".
mg -k( Léq-L0) -kx = mx" ;  -kx = mx" ; mx"+kx = 0 ; x" + w20 x = 0. Eq1.
Donner la solution de cette équation différentielle en prenant comme conditions initiales : x(0) =x0, positif et x'(0) =0.
x(t) = A cos( w0t+j) ; x(0) = x0 = A cos j ; A amplitude positive, A = x0 et j=0.
x'(t) = -
x0w0 sin( w0t+j) ; x'(0) =0 = - x0w0 sinjj = 0.
x(t) = x0 cos( w0t ).


On montre que l'énergie potentielle totale Ep de M s'écrit Ep =½kx2 en prenant comme référence la position d'équilibre x=0. On donne les deux chronogrammes ci-dessous correspondant à 2 énergies E1 et E2 en fonction du temps.  

Identifier Ep et Ec, énergie cinétique. Justifier.
E1 : la valeur initiale est nulle, puis la fonction croît, passe par un maximum et décroît ensuite.
La vitesse initiale est nulle ainsi que l'énergie cinétique.
E2 : la valeur initiale correspond  à un maximum, il s'agit de l'énergie potentielle.

Donner les expressions des maxima de Ep et Ec en fonction de k et x0.
En absence de frottement l'énergie mécanique EM se conserve.
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.
EM = Ep + Ec.
A t=0, l'énergie mécanique est sous forme potentielle.
EM = Ep max = ½kx20.
Au passage à la position d'équilibre, l'énergie potentielle est nulle et l'énergie cinétique est maximale, égale à l'énergie mécanique.
EM = Ec max = ½kx20.





On veut faire l'analogie du système précédent avec un circuit L, C en électricité représenté ci-dessous où q est la charge de l'armature du condensateur reliée au point A.



Donner l'expression générale de l'énergie électrique Eélec stockée dans un condensateur.
Eélec = ½Cu2 =½q2/C.
Donner l'expression générale de l'énergie  Emag stockée dans une bobine.
Emag = ½Li2.
On suppose que, compte tenu des conditions initiales, on peut écrire pour la charge du condensateur q(t) = q0 cos (w0t) avec w0 = 1/(LC)½.
En déduire l'expression de i(t).
i(t) = -dq/dt ( en tenant compte des conventions du schéma ).
i = 
q0w0 sin (w0t).

Donner les équivalents électriques des grandeurs suivantes : x, x', k, m, Ep, Ec.

mécaniqueélectrique
xcharge q
x' (vitesse)intensité i
k (raideur)1/C
m (masse)L ( inductance)
Ep =½kx2Eélec = ½q2/C.
Ec=½mv2Emag = ½Li2.









Dans la réalité l'énergie totale diminue progressivement. En mécanique, cette perte d'énergie est liée aux forces de frottement fluide qui s'exercent sur l'objet en mouvement.

D'où provient la perte d'énergie dans un circuit électrique ?
Une partie de l'énergie est dissipée par effet Joule dans les parties résistives du circuit.


Le graphe ci-dessous donne l'évolution en fonction du temps de l'énergie électrostatique, de l'énergie magnétique et de l'énergie totale du circuit RLC.
Identifier les différentes courbes en supposant que le condensateur est chargé à t = 0.

E = Eélec +Emag ; 1 représente l'énergie totale.
A l'istant initial, le condensateur chargé stocke toute l'énergie du circuit RLC :  courbe 2 (
Eélec)
A l'instant initial, l'intensité est nulle et la bobine ne stocke pas d'énergie  : courbe 3 (
Emag )
Quelle est l'expression de l'énergie perdue ?
Eperdue = Ejoule = Ri2t.
Justifier alors de la diminution avec paliers de l'énergie totale du circuit.
L'énergie perdue est proportionnelle au carré de l'intensité.
Lorsque l'intensité est proche de sa valeur  maximale ( la bobine stocke  pratiquement toute l'énergie du circuit) : on observe une forte diminution de l'énergie totale E.
Lorsque l'intensité est voisine de zéro ( le condensateur stocke pratiquement  l'énergie totale du circuit ) : il n'y a pratiquement pas de perte d'énergie, on observe un palier.







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