Aurélie 23/03/10
 

 

La foudre : perturbations dues au champ magnétique créé par l'éclair,  concours Capes 2010.

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Lors d'un coup de foudre, l'air est ionisé dans un canal conduisant du sol au nuage orageux. On assimile l'éclair à un fil rectiligne infini, d'axe Oz et de rayon a, parcouru par un courant  I(t) uniformément réparti dans une section droite et l'on se place dans l'approximation  des régimes quasi-stationnaires. Un point M au voisinage de l'éclair sera repèré en représentation cylindrique, par ces coordonnées ( r, q, z).
Placer sur un schéma, l'éclair, la base locale cylindrique et le point M.



L'activité électrique orageuse a pour effet de recharger la terre négativement.
Déterminer le sens du courant électrique I(t) dans l'éclair.
Des charges négatives s'écoulent de l'atmosphère vers la terre : le sens de I(t) est donc ascendant.
On s'intéresse à l'expression du champ magnétique créé par l'éclair, toujours modélisé par un fil infini de rayon a.
Expression du champ magnétique B(M) crée par l'éclair.
Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
L'axe Oz est axe de symétrie du système ; une rotation autour de cet axe ne modifie pas le champ : la variable q n'intervient donc pas dans l'expression du champ.
Toute translation le long de l'axe Oz, ne modifie pas le champ :
la variable z n'intervient donc pas dans l'expression du champ.
Tout plan contenant l'axe Oz est plan d'antisymétrie : le champ appartient donc au plan contenant l'axe Oz et le point M d'où : Bq( r, z) =0.
Le champ est orthoradial :
B(M) = B( r, t) eq.


Enoncé le théorème d'Ampère dans l'approximation des régimes stationnaires ou quasi-stationnaires.
n considère un ensemble de fils parcourus par des courants, la circulation C du champ magnétique le long d'une courbe fermée (G) quelconque est :

On calcule la circulation sur un cercle : le champ est constant sur ce contour et reste tangent au cercle.


 

Il n'est pas rare que la foudre s'abatte simultanément sur deux pylônes métalliques voisins. Si ces deux pylônes, supposés parallèles et distants de d0, sont parcourus par des courants strictement identiques du fait de leur foudroie, préciser la valeur du champ magnétique en un point du plan défini par ces deux pylônes, ce point étant situé à égale distance de ceux-ci.
Le  champ magnétique est perpendiculaire à un plan de symétrie :
Le plan médiateur est plan de symétrie et le plan contenant les pylônes est plan de symétrie.
Seul le vecteur nul peut être perpendiculaire aux deux plans précédents. Le champ magnétique est nul en tout point de la  droite située à égale distance des pylônes.
Quel appareil utilise t-on habituellement pour mesurer l'intensité du champ magnétique ?
L'appareil de mesure est le teslamètre.
En utilisant l'expression de la force de Lorentz, justifier que le canal de l'éclair à tendance à imploser.

Quel est l'origine du phénomène lumineux ? Quel est l'origine de l'émission sonore ?
L'intensité du courant dans l'éclair est très élevée : en conséquence la température s'élève suffisamment pour exciter les atomes et les ions présents ; ces derniers en se désexcitant libèrent de l'énergie sous forme de photons.
Une élévation importante de température entraîne une dilatation rapide du milieu : le tonnerre est la conséquence de l'onde de pression ainsi créée.
La foudre engendre des champs magnétiques variables qui peuvent perturber les circuits électriques domestiques, ce qui va faire la suite de notre étude.

Perturbations des circuits électriques.
Un coup de tonnere est une décharge électrique caractérisée par des courants de fortes amplitudes et de courtes durées. Lors de la décharge d'un coup de foudre, on a réalisé l'enregistrement de I(t) ci-dessous. l'intensité maximale est de 30 kA.

Rappeler la relation liant la charge  à l'intensité du courant électrique. A l'aide de la figure estimer la charge totale transportée par l'éclair. Donner l'intensité moyenne du courant transporté par l'éclair.
dq = I dt ; la charge totale correspond à l'aire comprise entre la courbe et les axes soit environ : 1000 10-6*30 103 / 2 = 15 C.
Intensité moyenne : Imoy = DQ/Dt = 15 / (
1000 10-6)= 15 kA.







On peut modéliser cette courbe par une équation du type I(t) = I0(exp(-at) - exp(-ßt)). Le temps de montée tm d'un signal  est la durée nécessaire pour qu'il atteigne son maximum.
Exprimer tm en fonction de a et b.
dI(t) / dt =
I0(-a exp(-atm) +ß exp(-ßtm)) = 0.
a exp(-atm) =ß exp(-ßtm)  ; ln a -
atm = ln ß -ßtm=0 ; tm=(ln a -ln ß )/ (a-ß).
Ce signal est une onde de courant normalisée, de type 10/350. Cela signifie que l'intensité électrique est maximale à la date t1 = 10 µs et qu'à la date t2 = 350 µs, elle a atteint la moitié de sa valeur maximale.
Poser un système de 2 équations indépendantes de I0 permettant d'obtenir les constantes a et ß que l'on ne calculera pas.

tm=t1 =(
ln a -ln ß )/ (a-ß).
3 104=I0(exp(-a t1) - exp(-ß t1)) ;
1,5 104=I0(exp(-a t2) - exp(-ß t2)) ; 3 104=2I0(exp(-a t2) - exp(-ß t2)) ;
exp(-a t1) - exp(-ß t1) =2exp(-a t2) -2exp(-ß t2).
On considère le circuit domestique d'alimentation d'une lampe. On l'assimile, pour simplifier, à un cadre rectangulaire de surface S, situé à la distance r de l'éclair. On modèlise l'éclair par un fil rectiligne parcouru par un courant d'intensité I(t). Il produit un champ magnétique d'expression B(r,t) = KI(t) / r.

Le circuit électrique et l'éclair sont coplanaires et suffisamment éloignés l'un de l'autre pour que l'on puisse supposé homogène le champ magnétique au niveau du circuit.
Ce circuit est le siège d'un phénomène d'induction.

Quel célèbre inventeur l'a découvert ? Dans quelle moitié de quel siècle ?
Faraday : 1831.

Etablir l'expression de la  force électromotrice e induite dans le cadre par l'éclair.
e s'exprime en volt.

Le circuit électrique domestique contient une alimentation alternative de force électromotrice E(t), une bobine d'inductance L et de résistance R associée aux fils et à la lampe.
Etablir l'équation différentielle complète de ce circuit en tenant compte de la perturbation due à l'orage.
Additivité des tensions : E(t) + e(t) = R i(t) + Ldi(t) / dt ; E(t) -KS/r dI(t) / dt = R i(t) + Ldi(t)/dt
A quel moment du coup de foudre, enregistré sur la figure ci-dessus, la force électromotrice induite est-elle maximale ?
dI(t) / dt : pente de la tangente à la courbe i(t) = f(t) ; la tangente est pratiquement verticale ( pente importante) à t = 0+ ( montée de l'intensité )
e =
-KS/r dI(t) / dt est maximale lors de la croissance de l'intensité.
Les perturbations électriques provoquées par la foudre ne sont pas seulement aériennes, elles se poursuivent dans le sol et peuvent être la cause d'électrocutions.






Tension de pas.
Par temps orageux, il est dangereux de chercher à s'abriter sous un arbre. Nous allons tenter d'en comprendre la raison.
 

Modélisons l'éclair traversant l'arbre par un fil rectiligne vertical semi-infini, parcouru par un courant électrique ascendant d'intensité I = 15 kA. Cette demi-droite prend fin au niveau du sol, où l'on suppose que la densité volumique de courant est radiale, de la forme . l'étude est menée en régime stationnaire et l'on note g = 1 S m-1 la conductivité électrique du sol.
Montrer que j(r) = -I / (2pr2).
Le courant traversant la demi- sphère de surface S = 2 pR2 est égal au courant I circulant dans l'éclair.

Rappeler l'expression de la loi d'Ohm locale. Exprimer le champ électrique dans le sol et en déduire son potentiel V(r) en le supposant nul à l'infini.

Une vache se trouve à la distance  moyenne d de l'arbre et la distance entre ses deux pattes avant et arrière et p.
Exprimer en fonction de p et d les potentiels au niveau des pattes avant et arrière de la vache.
V( d+½p) = I / (2 p g (d+½p)) ;
V( d-½p) = I / (2 p g (d-½p))
Up =
V( d-½p) -V( d+½p) =I p/ [(2 p g ) (d2-¼p2)] ;
or d >> p d'où : Up ~I p/ (2 p g d2 )
Soit R ~ 2,5 kW la résistance entre les pattes avant et arrière de la vache, distantes de p ~1,5 m.
A quelle distance minimale dm du point d'impact doit-elle se trouver pour que son corps soit traversé par un courant électrique d'intensité inférioeure à Imax = 25 mA.
Up ~I p/ (2 p g d2m ) = RImax ; Ip = RImax(2 p g d2m )
d2m = Ip / ( RImax(2 p g ) ; dm = [Ip / ( RImax(2 p g )]½.
dm =[15 000*1,5 / (2500*0,025 *6,28*1)]½= 7,6 m.
Cette tension de pas est plus dangereuse pour une vache que pour un homme :
cette tension de pas est proportionnelle à la distance p entre les pattes ; pour un homme cette distance p est environ 5 fois plus faible que pour une vache.







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