Aurélie 16/11/09
 

 

Un service au tennis, trajectoire, énergie bac S Amérique du Sud 2009.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.


.
.

Un terrain de tennis est un rectangle de longueur 23,8 m et de largeur 8,23 m. Il est séparé en deux dans le sens de la largeur par un filet dont la hauteur est 0,920 m.

Lorsqu’un joueur effectue un service, il doit envoyer la balle dans une zone comprise entre le filet et une ligne située à 6,40 m du filet.

On étudie un service du joueur placé au point O.

                       


Ce joueur souhaite que la balle frappe le sol en B tel que OB = L = 18,7 m.

Pour cela, il lance la balle verticalement et la frappe avec sa raquette en un point D situé sur la verticale de O à la hauteur H = 2,20 m.

La balle part alors de D avec une vitesse de valeur v0 = 126 km.h-1, horizontale comme le montre le schéma ci-dessous.

La balle de masse m = 58,0 g sera considérée comme ponctuelle et on considérera que l’action de l’air est négligeable.

L’étude du mouvement sera faite dans le référentiel terrestre, galiléen, dans lequel on choisit un repère Oxyz comme l’indique le schéma ci-dessous :



 


Équations horaires paramétriques et trajectoire.

Faire le bilan des forces appliquées à la balle pendant son mouvement entre D et B.

En indiquer les caractéristiques (direction, sens, grandeur) et l’expression.

 Établir l’expression du vecteur accélération de la balle au cours de son mouvement.

La résistance de l'air étant négligée ( la poussée d'Archimède étant négligeable devant le poids), la balle n'est soumise qu'à son poids, verticale, vers le bas, valeur mg.
On écrit la seconde loi de Newton :


 Montrer que les équations horaires paramétriques du mouvement de la balle sont :
x(t) = v0t ; y(t) = -½gt2+ H ; z(t) = 0
.
Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération. Les composantes du vecteur vitesse initiale sont : ( v0 ; 0 ; 0)
Les composantes du vecteur vitesse sont donc : (
v0 ; -gt ; 0)
Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse ; les composantes du vecteur position initiale sont : (0 ; H ; 0)
Les composantes du vecteur position sont donc :
x(t) = v0t ; y(t) = -½gt2+ H ; z(t) = 0.

Montrer que le mouvement de la balle a lieu dans un plan.
Le mouvement a lieu dans le plan défini par le vecteur accélération et le vecteur vitesse initiale, c'est à dire dans le plan (Oxy).

La composante des trois vecteurs, accélération, vitesse et position, suivant l'axe Oz est nulle.

En déduire l’équation littérale de la trajectoire de la balle dans le plan xOy.
t =
x(t) / v0. Repport dans l'expression de y(t) : y = -½gx2 / v02 + H.







Qualité du service.

 On prendra g = 9,81 m.s-2.

Sachant que la distance OF = 12,2 m, la balle, supposée ponctuelle, passe-t-elle au-dessus du filet ?

  yF = -½gxF2 / v02 + H.

v0 = 126 km /h = 126 / 3,6 m/s = 35,0 m/s ; H = 2,20 m ; xF = 12,2 m
yF =-0,5*9,81*12,22 / 352 +2,20 = 1,60 m.
Cette valeur est supérieure à la hauteur du filet ( 0,920 m) : la balle passe donc au dessus du filet.
Montrer que le service sera considéré comme mauvais, c’est-à-dire que la balle frappera le sol en un point B’ tel que OB’ soit supérieur à OB.

 yB' = 0 ; -½gxB'2 / v02 + H ; xB'2 = 2Hv02 / g ; xB' = v0 (2H/g)½ = 35 (2*2,20 /9,81)½ =23,44 ~23,4 m.
Cette valeur est supérieure  à OB( 18,7 m) ; le service est donc mauvais.

En réalité, la balle tombe en B. Quel est le paramètre, non pris en compte dans ce problème, qui peut expliquer cette différence ?
 
xB' = v0 (2H/g)½  ;
Si xB' est plus courte que la valeur théorique, la valeur de l'accélération de la balle n'est pas égale à g. Il faut prendre en compte les frottements sur les couches d'air.







Énergie de la balle.

 

 Donner l’expression littérale de la variation d’énergie potentielle de la balle entre l’instant où elle quitte la raquette et l’instant où elle touche le sol. Calculer sa valeur.
L'origine de l'énergie potentielle de pesanteur est choisie au sol.
L'énergie potentielle de pesanteur finale est donc nulle.
L'énergie potentielle de pesanteur initiale est : mgH.
Variation de l'énergie potentielle de pesanteur : DEp = 0-mgH =-mgH ;
m = 5,8 10-2 kg ; H = 2,20 m ; g = 9,81 m s-2.

  DEp = - 5,8 10-2 *9,81*2,20 = -1,25 J.

Quelle est l’expression de l’énergie cinétique de la balle lorsqu’elle part de D ?

Indiquer les unités dans le système international.

 Ec = ½mv02.
masse en kg, énergie en joule (J) et vitesse en m/s.

Écrire les expressions de l’énergie mécanique de la balle en D (EmD) et de la balle en B’ (EmB’).

L'énergie mécanique est la somme des énergie cinétique et potentielle :
EMD = mgH + ½mv02 ;
EMB' = 0 + ½mvB'2 ;

Quelle est la relation entre EmD et EmB’ ? Justifier.
Entre D et B' seul le poids travaille ( on néglige la résistance de l'air ): le poids étant une force conservative, l'énergie mécanique est constante entre D et B'.

Déduire l’expression de la vitesse vB’  de la balle lorsqu’elle frappe le sol.

Calculer cette vitesse.
EMD = EMB' ; mgH + ½mv02 =½mvB'2 ;

gH + ½v02 =½vB'2 ; 2gH + v02 =vB'2 ;
vB' = (
2gH + v02)½ = (2*9,81*2,20 + 352)½ =35,6 m/s.







retour -menu