Aurélie 19/08/10
 

 

Chute d'une goutte de pluie : bac S Asie 2010.

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II est expressément demandé de respecter les notations de l’énoncé : V désigne le volume, v désigne la valeur de la vitesse.

Données et opérations utiles à la résolution de l’exercice :
Valeur prise pour l’accélération de la pesanteur : g = 10 m.s-2 ; masse volumique de l’eau : r1 = 1000 kg.m-3 ; masse volumique de l’air : r2 = 1,3 kg.m-3 ;
3,24 × 2,10 = 6,80 ; 3,24 × 2,16 = 7,00 ; 1 / 1,3 = 0,77.

On se propose d’étudier le mouvement d’une goutte de pluie dans deux cas simples.
1. TEMPS CALME.
On étudie le mouvement d’une goutte d’eau en chute verticale dans l’air, en l’absence de tout vent. La force de frottement subie par la goutte a pour expression  , où vG désigne le vecteur vitesse du centre d’inertie de la goutte, et K est une constante.
La goutte de pluie considérée a une masse m, un volume V et une masse volumique r1 constante.
On désigne par r2 la masse volumique de l’air. 
Quelle est l’expression littérale de la valeur FA de la poussée d’Archimède qui agit sur la goutte.
La poussée est égal au poids du volume de fluide ( l'air) déplacé. FA = Vr2g.
On note P la valeur du poids de la goutte.
Etablir l'expression du rapport P / FA en fonction des masses volumiques r1 et r2. Montrer que FA est négligeable devant P.
P = mg et m = V
r1 d'où P = Vr1g. Par suite P / FA = r1 / r2= 1000/1,3 ~1000*0,77 = 7,7 102.
Le poids est environ 800 fois supérieur à la poussée d'Archimède ; celle-ci peut être négligée devant le poids. 


Dans la suite de l'exercice, on négligera la poussée d'Archimède.
L'axe vertical du repère d'étude étant orienté vers le bas, montrer que l'équation différentielle du mouvement de chute de la goutte peut se mettre sous la forme : dvGdt = AvG + B où A et B sont deux constantes que l'on exprimera en fonction de K, m et g.
La  goutte est soumise à son poids et à la force de frottement. Ecrire la seconde loi de Newton sur un axe vertical orienté vers le bas.


 

Quelles sont les unités de A et de B dans le système internationnal d'unité ?
B a la dimension d'une accélération ( m s-2).
A vG a la dimension d'une accélération et vG celle d'une vitesse ( m s-1). A est donc l'inverse d'un temps ( s-1).
On donne A = -3,24 10-1 SI et B = 10 SI.
On a calculé quelques valeurs de la vitesse de la goutte à différentes dates, en utilisant la méthode d'Euler. Voici un extrait du tableau affiché par le tableur utilisé :

t (s)
vG ( m/s)


3,0
19,6
3,2
20,3
3,4
21,0
...
...
la méthode d'Euler permet d'estimer par le calcul la valeur de la vitesse de la goutte en fonction du temps en utilisant deux relations :
dvG(ti) / dt = AvG(ti) +B et vG(ti+1)= vG(ti)+ dvG(ti) / dt Dt, où Dt est le pas d'itération.

En utilisant l'équation différentielle du mouvement et les données du tableau, calculer la valeur de l'accélération à l'instant de date t = 3,4 s.
a(ti) =dvG(ti) / dt = AvG(ti) +B ; a(ti) =-0,324*21,0 +10 =3,2 m s-2.
En déduire par la méthode d'Euler, la valeur de la vitesse à l'instant de date 3,6 s.
vG(ti+1)= vG(ti)+ dvG(ti) / dt Dt ; vG(3,6) = vG(3,4) +a(3,4)*0,2 = 21,0+3,2*0,2 =21,6 m/s.
Comment doit-on choisir le pas pour que les valeurs calculées par la méthode d'Euler soient les plus proches possibles des valeurs réelles ?
Le pas doit être petit, de l'ordre du centième de la durée du régime transitoire.








La courbe représentant l'évolution de la valeur de la vitesse au cours du temps est donnée ci-dessous.
Comment évolue l'accélération de la goutte d'eau ? Justifier.

L'accélération est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe à une date donnée. Or ces tangentes sont de moins en moins inclinées sur l'horizontale. L'accélération diminue au cours du temps.
Quelle est la valeur de l'accélération lorsque le régime permanent est atteint ? Comparer la valeur des forces qui agissent sur la goutte d'eau.
En régime permanent, le mouvement est rectiligne unforme ( accélération nulle). D'après le principe d'inertie le poids et la force de frottement sont opposées ; ces forces ont la même valeur.
Etablir l'expression littérale de la vitesse limite atteinte par la goutte d'eau.
mg = K vG limite ; vG limite = mg/ K.








Temps venteux.
La poussée d'Archimède et la force de frottement s'exerçant sur la goutte seront négligés devant le poids. Alors que la goutte d'eau est en chute verticale à la vitesse v, elle subit brutalement une rafale de vent, de très courte durée, qui lui communique à l'instant t=0, une vitesse horizontale, de valeur v2. Le vecteur vitesse initiale v0 est représenté sur le schéma ci-dessous :


A partir de la seconde loi de Newton, établir les équations horaires du mouvement de la goutte dans un référentiel terrestre muni du repère (Oxy ) tel que le point O coïncide avec la position de la goutte à la date t=0.
La goutte n'est soumise qu'à son poids ; il s'agit d'une chute libre avec vitesse initiale.


La vitesse est une primitive de l'accélération :
Suivant Ox : vx = v2 ; suivant Oy :
vy =gt + v.
La position est une primitive de la vitesse ; la position initiale étant l'origine du repère, la constante d'intégration est nulle.
x =
v2 t ; y = ½gt2 +vt.
Quelle est l'équation de la trajectoire décrite par la goutte d'eau dans le repère (Oxy ). Préciser sa nature.
t = x /
v2 ;  repport dans l'expression de y.


C'est l'équation d'une parabole.








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