Mathématiques épreuve anticipée de première voie générale Polynésie 2026
Spécialiste

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PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES – QCM (6 pts).
 Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question.
Question 1. Un article coûte 40 € et subit une augmentation de 30 %. Combien coûte-il après cette augmentation ?
Augmentation : 40 x0,30 =12 €. Nouveau prix 52 €.  Réponse B.

 Question 2 On considère l'équation : (−0,5x + 3)(−5x – 4) = 0. Les solutions de cette équation sont :
-0,5x+3 =0 ; 0,5x=3 ; x=6.
-5x-4=0 ; 5x=-4 ; x = -4 /5= -0,8..
Réponse D.
 
Question 3. Un entraineur choisit 8 joueurs dans une équipe. Cela représente 20 % de l’équipe. Combien y a-t-il de joueurs dans l’équipe ?
8 x100 / 20 = 8 x5=40.  Réponse C.

Question 4 On peut calculer l’énergie cinétique d’un objet en mouvement. Cette énergie est notée Ec et elle est donnée par la formule : Ec = ½mv2, Ec s’exprime en joules, m représente la masse de l’objet en kg et v sa vitesse en m/s.) L’expression permettant d’exprimer la vitesse v en fonction de Ec et de m est :
v2 = 2 Ec / m ; v = (2Ec/m)½.
. Réponse B.

Question 5 On a représenté la courbe de la fonction inverse définie sur R∗ par f(x) = 1 /x . L’ensemble des solutions de l’inéquation  1/x ≥ 2 est :

]0 ; 0,5]
. Réponse A.

Question 6. Le nombre 2 9 × 5 7 est égal à :.
22 x27 x57=22 x 107 = 4 107. Réponse B.

Question 7. Parmi les équations réduites de droites proposées, laquelle est celle de la droite 𝑑 tracée dans le repère ci-dessous ?

Coeficient directeur : -3 /5.
y = -3/5 x+5,2 = -0,6 x +5,2.
 Réponse D

Question 8. Quelle est la forme factorisée de l’expression 16𝑥 2 − (𝑥 + 1) 2 ?
(4x +x+1) (4x-x-1) = (5x+1)(3x-1)
 Réponse B


DEUXIÈME PARTIE (14 pts) Exercice 1 (8 points).
Un club de vacances propose deux types d'activités à ses clients :
des randonnées le matin et des activités nautiques l'après-midi.
On sait que :
 un quart des clients participent aux randonnées,
 parmi les clients ayant choisi de faire une randonnée le matin, la moitié s'inscrit aussi aux activités nautiques de l'après-midi,
 parmi les clients n’ayant pas choisi de faire une randonnée le matin, un tiers s'inscrit aux activités nautiques de l'après-midi.
 On choisit un client du club de vacances au hasard et on note :
 R l'évènement : « le client participe à la randonnée », 
 N l'évènement : « le client participe aux activités nautiques ».
1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité représentant la situation.

2. Montrer que la probabilité que le client participe aux activités nautiques est de 3/ 8 .
0,125 + 0,25 = 1 /8 +1/4 = 1/8 +2/8 = 3 / 8.
 3. Sachant que le client a participé aux activités nautiques de l'après-midi, quelle est la probabilité qu'il ait fait la randonnée du matin ?
PN(R) =P(N n R) / P(N)= 0,125 / 0,375 = 1 3.
 4. Les évènements R et N sont-ils indépendants ? Justifier.
P(R) = 0,25 = 1 /4 ; P(N) = 3 /8.
P(R n N) = 1 / 8.
P(R n N)  diffère de P(N) * P(R).
Les évènements R et N ne sont pas indépendants.

Partie B En 2025, le club de vacances a accueilli 400 clients. Son directeur projette la fréquentation du club dans les années à venir en modélisant le nombre de clients du club les années suivantes par la suite (un ) définie par : u0 = 400 et pour tout entier naturel n, un+1= 1,025un. où un représente le nombre de clients du club pour l’année 2025 + n.
1. Donner la nature de la suite (un ) en précisant sa raison.
Suite géométrique de premier terme 400 et de raison 1,025
2. Selon ce modèle, quel est le taux d’évolution annuel de la fréquentation de ce club de vacances ?
0,025 ou 2,5 %.
3. a) Recopier et compléter la fonction seuil, codée en python, afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de n telle que un soit supérieur ou égal à k, où k est un entier naturel non nul.
def seuil(k)
u =400
n=0
while u < k
n=n+1
u = u*1.025
return n
b) Le tableau ci-dessous a été extrait d’une feuille automatisée de calcul donnant les valeurs arrondies au centième de 1,025n pour certaines valeurs de n. Déterminer la valeur renvoyée par l’instruction seuil(600), où seuil est la fonction codée en python donnée en 3.a). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

On lit la première valeur du tableau qui atteint 1,5 ; donc n = 17.
2025+17 =2042. En 2042, le nombre de clients dépasse 600.

Exercice 2. 6 points.
On considère la fonction f définie sur R par :f(x) = ( 0,5 𝑥 + 1)e-x . On note (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on désigne par f 'sa fonction dérivée.
1. Démontrer que, pour tout réel x, f '(x) = (− 0,5 𝑥 − 0,5 )e-x .
On pose u = 0,5 x+1 et v = e-x ;
u' = 0,5 ; v' = -e-x.
u'v+v'u = 0,5 e-x -(0,5x+1)e-x = (− 0,5 𝑥 − 0,5 )e-x .
2. Étudier les variations de la fonction f sur R.
e-x  est strictement positif.
f '(x) possède le signe de -0,5 x-0,5.
Si x < -1, f '(x) >0 et f est strictement croissante de -oo à 0,5 e ~1,36.
Si x > -1, f '(x) <0 et f(x) est strictement décroissante de 0,5e à 0.
Si x = -1, f '(x) =0 et f présente un maximum f(-1) =0,5 e ~1,36..
3. L’affirmation « Pour tout réel x, f(x) ≤ 2 » est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
La fonction présente un maximum égal à 1,36. L'affirmation est vraie.
 4. Déterminer l’équation réduite de la tangente à (Cf) au point d'abscisse 0.
Coefficient directeur de la tangente f '(0) = -0,5.
y = -0,5 x+b.
Le point de coordonnée (0 ; 1) appartient à la tangente.
1 = b.
y =-0,5 x+1.

Partie B Soit g la fonction polynome du second degré définie par g(x) = 0,5x2 + bx + c où b et c sont deux réels. On crée la courbe représentée ci-dessous, constituée des deux éléments suivants :
 une partie de la courbe (Cf) représentative de la fonction f définie dans la partie A sur l'intervalle [−2 ; 0], 
 une partie de la courbe (Cg) représentative de la fonction g sur l'intervalle [0 ; 3].

Le but de cette partie est de déterminer les réels de b et c.
1. Le point M(0 ; 1) appartient aux deux courbes (Cf) et (Cg). Démontrer que c = 1.
1 = g(0)=0,5 *02 +b*0+c ; c = 1.
2. Au point M(0 ; 1), les courbes (Cf) et (Cg) admettent la même tangente. Déterminer la valeur de b.
Même tangente en M : donc g'(0) = f'(0).
g '(x) = x+b ; g'(0) = b.
Or g '(0) = f '(0) = -0,5 ; b = -0,5.


  
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