Mathématiques épreuve anticipée de première voie générale Métropole 2026

PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES – QCM (6 pts).
Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question.
Question 1. La position p d’un objet et la position p ′ de son image au travers d’une lentille de distance focale f sont liées par la relation suivante. Exprimer p' en fonction de p et f.

Réponse A.

Question 2 L'expression suivante est égale à :
2⁵ x2³ / 2⁷ =2^5+3-7=2.
Réponse D.

Question 3 Un article coûte 80 euros. Son prix augmente de 20 %. Le nouveau prix est :
Augmentation 80 x0,20 = 16 € ; Nouveau prix : 80 +16 = 96 €. Réponse C.

Question 4 Le plan est muni d’un repère. On considère la droite d passant par les points A(1; 3) et B(3; 7). Le coefficient directeur de la droite d est égal à :.
(y_B-Y_A) / (x_B-x_A) = (7-3) / (3-1) = 4 / 2 = 2.
Réponse C

Question 5 Dans un lycée, 60 % des élèves sont demi-pensionnaires. Parmi les demi-pensionnaires, un quart sont des garçons. La proportion de garçons demi-pensionnaires par rapport à l’ensemble des élèves du lycée est égale à :.
Soit N le nombre d'élèves du lycée ;
0,6 N sont demi-pensionnaires.
0,6 N / 4 = 0,15 N demi-pensionnaires garçons soit 15 %.
Réponse C

Question 6. On considère la relation : V = t² / u où t et u sont des réels non nuls. Lorsque V = 20 et u = 5, la valeur de t est :
t² = V u = 20*5 = 100 ; t = ±10. Réponse A.

Question 7. Une équation de la droite représentée ci-dessous est :

Coefficient directeur : 3 /2 = 1,5 ; f(0) = -1.
y = 1,5x-1 Réponse D

Question 8.

. Réponse C

Question 9. La fonction f définie sur R par f (x) = (2x −4)(−x +1) admet pour tableau de signes :

Réponse C.

Question 10. Une fonction f est représentée ci-dessous :

Avec la précision permise par le graphique, l’ensemble des solutions de l’inéquation f (x) supérieur ou égal à 1 est :
[-2 ; -1][ union [3 ; 5]. Réponse B.

Question 11. On considère ci-dessous une série statistique :

valeurs	0	1	2	3	4
effectifs	10	6	4	6	4
effectif total	10	16	20	26	30

La médiane de cette série est égale à 1. Réponse B.
Effectf total 30.
La médiane est située entre la15ème valeur et la 16ème valeur ; la médiane vaut 1.

Question 12. Quelle expression n'est pas égale à 4x²-1?
(2x-1)² =4x²-2x+1. Réponse B.

DEUXIÈME PARTIE (14 pts) Exercice 1 (6 points).
Partie A : Étude graphique On précise également que :
• C coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0; 9) et tangente l’axe des abscisses au point de coordonnées (3; 0),
• C ′ coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0; 3) et l’axe des abscisses aux points de coordonnées (1; 0) et (3; 0).

1. Donner un argument graphique qui montre que c’est bien la courbe C ′ qui représente la dérivée de la fonction représentée par la courbe C , et non l’inverse.
Lorsque la dérivée s'annule, la fonction présente un extrémum. La courbe C' coupe l'axe des abscisses pur x = 1 et x=3.
La courbe C présente un maximum pour x = 1 et un minimum pour x = 3.
2. On note f la fonction représentée par la courbe C. Montrer qu’une équation de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 est y = 3x +9.
Valeur de la dérivée en x=0 ( coefficient directeur de la tangente) : f '(x) = 3.
De plus le point de coordonnées (0 ; 9) appartient à cette tangente.
Par suite y = 3x+b donne ; 9 = b.

Partie B Afin d’établir l’efficacité d’un antibiotique, un biologiste étudie l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture. À l’instant t = 0, le milieu contient une population initiale de bactéries et l’antibiotique est introduit dans le milieu. La densité de population bactérienne (en milliers de bactéries par millilitre) peut être modélisée par la fonction f représentée par C dans la partie 1 et définie pour tout réel t par : f(t) = e^t(t²-6t + 9) où t représente le temps écoulé depuis le début de l'observation, exprimé en heure. Données : e¹ ≈ 2,7 ; e³ ≈ 20,1
1. Montrer que pour tout réel t, on a : f(t)= = e^t(t − 3)² . En déduire le signe de la fonction f sur R.
t²-6t + 9 = (t-3)².
Par suite f(t) =e^t(t − 3)² .
e^tet (t − 3)² étant positif ou nul, f est positive ou nulle sur R.
2. Calculer f(0) et interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
f(0) = e⁰*9 = 9.
A l'instant initial, la population de bactérie est égale à : 9 milliers par millilitre.
3. Montrer que la fonction dérivée de la fonction dérivée f ' est définie, pour tout réel t, par : f '(t)= e^t (t ² − 4t + 3) .
On pose u = e^t et v =t²-6t + 9.
u' = e^t ; v' = 2t-6.
u'v+v'u = e^t(t²-6t + 9+2t-6) = e^t(t²-4t+3).
4. a. Étudier le signe de f ' sur R.
e^t >0 ; f ' a le signe de t²-4t+3.
Solutions de t²-4t+3 =0 ; t = 1 et t = 3.
f ' =0 pour t = 1 et t=3.
f '< 0 sur [1 ; 3].
b. Dresser le tableau des variations complet de la fonction f sur [0 ; +∞[.

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