Mathématiques épreuve anticipée de première voie générale Antilles 2026
Spécialiste

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PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES – QCM (6 pts).
 Pour cette première partie, aucune justification n’est demandée et une seule réponse est possible par question.
Question 1. Une forme factorisée de l’expression 9  𝑥2 − 1 /9 est.
Différence de deux carrés. (3x -1 /3)(3 x + 1/3).
  Réponse B.

 Question 2 .Soit la relation E = (x-y) / (zt).
Lorsque x = 3, y= -2, z =-3 ; t = -4, on a :
E =  (3-(-2)) / ((-3)(-4)) =5 /12.
Réponse C.
 
Question 3. On considère une fonction f définie sur l’intervalle [−5 ; 9]. On a représenté ci-dessous sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On note A = f(−4) / f(−1) . Laquelle de ces propositions est vraie ?

f(-4) =1,5 ; f(-1)= -2 ; A = 1,5 / (-2) = -1,5 / 2 = -0,75.
A < 0.
  Réponse B

 Question 4 On considère l’inéquation sur R (I) − 2𝑥 + 2 ⩾ 0. On note 𝑆 l’ensemble des solutions de (I). On peut affirmer que :
-2x > -2 ; 2x < 2 ; x < 1.
Réponse A.
Question 5 On considère ci-dessous le tableau de signes d’une fonction f définie sur R.

Une expression possible de f(x) est :
On cherche une fonction dont les racines sont -3 et +2 et dont le coefficient dominant est positif ( images positives sauf entre les racines).
Les propositions B et D sont éliminées, les racines ne conviennent pas. La proposition A possède un coefficient dominant négatif : elle ne convient pas.
. Réponse C. f(x) = (x-2)(x+3).

Question 6.Le prix d’un article baisse de 50 % puis augmente de 40 %. Ces deux variations sont équivalentes à :
Prix initial : 100 ; après première baisse, le prix devient  : 50 ; après la hausse le prix devient : 50 x1,4 = 70.
Soit une baisse de 30 % du prix initial.
  Réponse D.

Question 7. On s’intéresse aux adhérents d’une association. On sait que 40 % d’entre eux sont des hommes et qu’il y a 30 femmes. Le nombre total d’adhérents de cette association est égal à :
homme
 femme
 total
40%
 60%
 100%

30
 x

x = 30 x100 / 60 =50.
 Réponse D

Question 8. On considère un réel a quelconque, différent de 0. Une seule de ces égalités est vraie. Laquelle ?
a8 / a-5 =a13 diffère de a3.
a30 / a2 =a28 diffère de a3.
(a10)3 = a30 diffère de a13.
a x a5 / a2 =a6 / a2 = a6-2 = a4.
   Réponse D.
Deuxième partie. 14 points.
.Exercice 1 (5 points). On s’intéresse à l’évolution de la valeur d’une voiture. En janvier 2025, la valeur de la voiture est égale à 10 000 euros. On suppose qu’ensuite, chaque année, la valeur diminue de 10 %. Pour tout entier naturel n, on note un la valeur de la voiture, en euros, au mois de janvier de l’année 2025 + n. On a donc u0 = 10000.
1. a. Calculer la valeur de la voiture en janvier 2026.
10000 x0,9 = 9000 €.
 b. Justifier que pour tout entier naturel n, on a u𝑛+1 = 0,9un.
Une baisse de 10 % correspond à miltiplier le prix initial par 0,9.
2. En déduire la nature de la suite (un) et préciser sa raison.
Suite géométrique de raison 0,9 etde premier terme 10000.
3. a. Pour tout entier naturel n, exprimer le terme un en fonction de n.
un = u0 x0,9n.
b. En déduire la valeur de la voiture en janvier 2030. On pourra s’aider de l’aide au calcul ci-dessous.
Aide au calcul 0,94 = 0,6561 ; 0,95 = 0,59049 ; 0,96 = 0,531441
u5 = 10000 x0,95=10000 x0,5905 = 5904,9 €.
4. On considère le programme Python ci-dessous. Recopier et compléter ce programme afin qu’il renvoie, après exécution, la plus petite valeur de n telle que un < 𝐴, où 𝐴 est un nombre réel strictement positif.
def seuil(A)
N=0
U=10000
while U  >=A
U=0.9*U
N=N+1
return N
5. L’exécution de ce programme, pour plusieurs valeurs de A, donne les résultats suivants :
>>>seuil(7500)
3
>>> seuil (5000)
7
>>>seuil 2500)
14
>>> seuil(2000)
16.
a. Interpréter, dans le contexte de l’exercice, le résultat obtenu lors de l’appel seuil(5000).
Au bout de 7 ans, la voiture vaut 5000 €.
b. Déterminer, en expliquant la démarche, l’année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.
Valeur finale de la voiture 2500 €.
un = u0 x0,9n.
2500 = 10000 x0,9n ;
0,25 = 0,9n ; ln(0,25) = n ln(0,9) ; n ~13
En 2025 +13, soit fin 2038 ou 2039.

Exercice 2. 5 points.
On s’intéresse à l’ensemble des spectateurs d’un cinéma. On désigne par le terme JEUNE un spectateur âgé de 18 ans ou moins. On désigne par le terme ABONNÉ un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma. Une étude a permis d’établir les résultats suivants :
 • 60 % des spectateurs sont abonnés;
• parmi les spectateurs abonnés, 40 % sont jeunes;
• parmi les spectateurs n’étant pas abonnés, 20 % sont jeunes.
On interroge au hasard un spectateur et on considère les événements suivants :
• 𝐴 : « le spectateur est abonné »;
 • 𝐽 : « le spectateur est jeune ».
1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

2. Calculer la probabilité P(A ∩ J) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
0,24 , 24 % des abonnés sont jeunes et vont au cinéma.
 3. Démontrer que 𝑃(𝐽) = 0,32.
Formule des probabilités totales :0,24 +0,08 = 0,32.
 4. On considère l’affirmation suivante : « Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d’une chance sur deux qu’il soit abonné. » Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.
P(A ∩ J) / P(J) =0,24 / 0,32 =0,75. Affirmation exacte.

 5. Le prix d’une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes :
• un spectateur non abonné paie sa place 5 euros, quel que soit son âge;
• un spectateur abonné et n’étant pas jeune paie sa place 2 euros;
• un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c’est gratuit.
On note X la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, donne le prix qu’il doit payer pour sa place de cinéma.
 a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
k
 0
 2
 5
événement X = k
 A n J
 A n non J
 non A
P(X=k)
 0,24
 0,36
 0,4

b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire 𝑋 et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
E(X) = 0 *0,24 +2 *0,36 +5*0,4 =2,72.
Le prix moyen payé par un spectateur est 2,72 €.

Exercice 3. 4 points.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Les deux questions sont indépendantes.
1. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A(2 ; 0), B(3 ; 2) et C(0 ; 4).
Affirmation : Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
 
Le produit scalaire n'étant pas nul, les droites (AB) et (AC) ne sont pas perpendiculaires.
2. On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x)= (3x − 1)ex . On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction f est dérivable sur R.
a. Affirmation : la fonction f est croissante sur R.
Calcul de la dérivée en posant u = 3x-1 et v = ex ; u' = 3 ; v' = ex.
u'v+v'u = 3ex+(3x-1)ex =(3x+2)ex.
 ex étant positif, le signe de la dérivée est celui de 3x+2.
Si x >  -2/3, f'(x) est positive et f(x) est croissante.
Si x < -2/3, f '(x)  est négative et f(x) est décroissante.
L'affirmation est fausse.
 b. Affirmation : La tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 a pour équation  y = 2x-1.
Coefficient directeur de la tangente f '(0) =2.
Le point  (0 ; f(0) =-1) appartient à la tangente.
Equation de la tangente y = 2x-1
L'affirmation est vraie..



  
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