Mesure du niveau d'un liquide,
bac Polynésie 2026
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Les capteurs capacitifs ont de nombreuses
applications. Ils sont mis à profit entre autres pour contrôler le
niveau de remplissage de cuves opaques.
L’objectif de cet exercice est l’étude du fonctionnement d’un capteur
capacitif de niveau.
Un capteur de niveau capacitif est constitué d’un condensateur creux
immergé dans une cuve. Le condensateur est constitué de deux armatures
métalliques A et B séparées par un isolant qui peut être l’air ou le
liquide. L’armature B entoure l’armature A.
Le liquide et l’air n’ayant pas les mêmes propriétés isolantes, la
capacité du condensateur dépend du niveau de liquide présent dans la
cuve.
Partie A : Étude de l’influence de la capacité lors de la charge d’un condensateur.
Un capteur de niveau capacitif peut être assimilé à un condensateur de
capacité C dont la valeur peut varier en fonction du niveau de liquide.
On effectue la charge du condensateur de capacité C, initialement
déchargé, dans un circuit contenant un conducteur ohmique de résistance
R = 330 kW et un générateur délivrant une tension E = 5,0 V aux bornes du dipôle RC.
La Figure 2 précise les conventions d’orientation utilisées pour représenter la tension E aux bornes du générateur, la tension uR aux bornes du conducteur ohmique, la tension uC aux bornes du condensateur ainsi que l’intensité i du courant circulant dans le circuit.
Q1. Justifier que l’intensité i du courant peut s’exprimer en fonction de la tension uC aux bornes du condensateur et de la capacité C du condensateur par la relation : i = C × duC/dt.
q = C uC ; i = dq/dt = C × duC/dt.
Q2. Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension uC aux bornes du condensateur lors de la charge sous une tension E.
Additivité des tensions : E = uR + uC.
uR = Ri = RC duC/dt.
E = RC duC/dt + uC.
La solution de cette équation différentielle est de la forme suivante : uC= E ×(1- exp(-t /t)), où t = R.C est la constante de temps du circuit étudié.
Q3. Vérifier par un calcul que la tension u𝐶(t) aux bornes du condensateur a atteint, à l’instant t = t , 63 % de sa valeur maximale et déterminer la valeur de la tension uC(t).
uC(t)= E ×(1- exp(-1)) = 0,63 E = 0,63 x5,0 ~3,2 V. ,
Q4. Préciser l’influence de la capacité C sur la durée de charge complète du condensateur.
La durée de la charge est voisine de 5t = 5 RC.
A R = constante, la durée de la charge est proportionnelle à C.
Partie B : Détermination du volume d’huile contenu dans un fût métallique.
La capacité C du condensateur dépend de la hauteur h d’huile dans le
condensateur. Le condensateur est branché en série avec un conducteur
ohmique. Le dipôle RC, ainsi constitué, est connecté à une sortie d’un
microcontrôleur qui permet d’effectuer des charges et décharges
successives du condensateur.
Une deuxième entrée du microcontrôleur permet de suivre l’évolution de la tension uC aux bornes du condensateur au cours du temps.
Q5. En utilisant la figure, montrer que la valeur de la constante de temps t correspondant à la charge du capteur capacitif est voisine de 1,2 × 10-4 s. Expliquer la méthode utilisée en s’appuyant sur un schéma.
On a préalablement mesuré à l’aide d’un capacimètre, la capacité C du
capteur pour différentes hauteurs h d’huile dans le capteur.
On obtient alors la courbe d’étalonnage de la capacité C en fonction de la hauteur h dans le condensateur.
Données :
-Le fût métallique est considéré comme un cylindre de diamètre D = 0,610 m ;
- Volume d’un cylindre V (en m3) de diamètre D (en m) et de hauteur H (en m) :
V = p × D2 × H / 4 ;
Niveau d’entrée d’huile dans le capteur : h0 = 4,4 cm ;
Résistance du circuit RC : R = 330 kW.
Q6. À l’aide des et des données précédentes, calculer la valeur du volume d’huile VH contenu dans le fût métallique, lors de l’enregistrement représenté.
Equation de la droite C = 0,20 10-9 +0,3 10-9 h.
0,12 10-3 = RC ; C = 0,12 10-3 / (330 103) =3,6 10-10 F.
h = (3,6 10-10-0,20 10-9) / (0,3 10-9) =(0,36-0,20) / 0,3 =0,533 m.
H = h +h0= 0,533 +0,044 = 0,577 m.
V = p × D2 × H / 4 = 3,14 x0,612 x0,577 / 4 =0,168 ~0,17 m3.
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