Mathématiques, géométrie, Bac
Métropole 06/2026
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d’intérêts.
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Exercice
2 (4 points).
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. L’espace est muni d’un repère orthonormé .
On considère :
la droite (d) dont une représentation paramétrique est :
x = t
;
y = −1,5− t
z = 2−2t
où t est réel;
les points A(3 ; 0 ; 2) et B(2 ; 1 ;−3);
le plan (P ) d’équation : −x + y −5z −0,5 = 0.
a. Affirmation 1 :
Le plan (P ) est orthogonal à la droite (AB), et passe par le milieu du segment [AB].
Coordonnées d'un vecteur normal au plan P : -1 ; 1 ; 5.
Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (AB) : 2-3 : 1-0 ; -3-2 soit -1 ; 1 ; -5.
Le vecteur directeur de la droite (AB) est donc normal au plan P.
Soit I le milieu du segment [AB] ; coordonnées du point I :
½(xA+xB) = 2,5 ; ½(yA+yB)=0,5 ; ½(zA+zB) = -0,5.
-xI+yI-5zI-0,5 = -2,5+0,5+2,5 -0,5 = 0 est vérifié.
Le plan P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le milieu du segment (AB].
Affirmation vraie.
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b. Affirmation 2 :
Les droites (d) et (AB) sont sécantes.
Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (d) : 1 ; -1 ; -2.
Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (AB) : -1 ; 1 ; -5.
Ces coordonnées n'étant pas proportionnelles, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Ces deux droites ne sont pas parallèles.
Elles peuvent être sécantes ou non coplanaires.
Représentation paramétrique de (AB) :
x = xA- s =3-s ;
y = yA+s= s ;
z = zA-5s = 2-5s avec s réel.
Dans l'hypothèse ou ces droites sont sécantes :
3-s = t ; soit s = 3-t.
s = -1,5-t diffère de 3-t.
2-5s = 2-2t.
Les équations ne sont pas compatibles. Le système n'a pas de solution.
Il n'y a pas de point commun entre les droites (AB) et (d). ces droites ne sont pas coplanaires, ni sécantes..
Affirmation fausse..
c. On considère le point C de coordonnées (1,5 ;−3 ;−1).
Affirmation 3 :
La mesure de l’angle ACB, arrondie à 10 −1
, est égale à 70,5 °.
CA = ((3-1,5)2 +(0+3)2+(2+1)2)½ =4,5.
CB = ((2-1,5)2 +(1+3)2+(-3+1)2)½ =4,5.
cos(ABC) = 6,75 /(4,5 *4,5)=0,333.
L'agle (ABC mesure 70,5 °.
Affirmation vraie.
2 Titouan et Clotilde participent à un escape game. Ils se retrouvent dans une salle possédant deux
portes de sortie, A et B, chacune protégée par un digicode équipé de 8 touches portant des symboles différents :
• le digicode de la porte A utilise un code de 3 symboles différents devant être saisis dans
l’ordre;
• celui de la porte B utilise un code de 4 symboles différents qui peuvent être saisis dans n’importe quel ordre.
N’étant pas parvenus à obtenir d’indices, ils décident de procéder au hasard à la saisie des codes.
Clotilde choisit un code pour la porte A, et Titouan choisit un code pour la porte B.
On considère que les choix des codes sont équiprobables.
Affirmation 4 :
Titouan a plus de chances d’ouvrir sa porte que Clotilde.
Pour Titouan, il s'agit d'une combinaison, (pas de répétition et pas d'ordre).
Titouan a (84) = 8*7*6*5 /(4*3*2)=70 codes différents possibles chacun ayant une probabilité de 1 / 70.
Pour Clotilde, pas de répétition et on tient compte de l'ordre : c'est un arrangement.
8 ! / (8-3)! = 8! / 5! = 8 *7 *6 = 336.
Clotilde a 336 codes différents, chacun ayant une probabilité de 1 /336.
1/70 > 1 / 336, la probabilité que Titouan ouvre sa porte est supérieure à la probabilité que Clothilde ouvre la sienne.
Affirmation vraie.
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On
considère les points :
A(2; 1; 1), B(3;−2; 0), C(0;−1; 1) et D(0; 0; 2).
1. Montrer que les points A, B et C définissent un plan.
Coordonnées du vecteur AB : (3-2 ; -2-1 ; 0-1) soit (1 ; -3 ; -1).
Coordonnées du vecteur AC : ( 0-2 ; -1-1 ; 1-1) soit (-2 ; -2 ; 0).
Leurs coordonnées n'étant pas proportionnelles, ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
A, B et C n'étant pas alignés, ces points définissent un plan.
2. a. Montrer que le vecteur n de coordonnées (1 ; -1 ; 4) est normal au plan (ABC).
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est :
x − y +4z −5 = 0.
x-y+4z+d = 0.
A(2 ; 1 ; 1) appartient à ce plan : 2-1+4*1+d = 0 ; d = -5.
Equation de ce plan (ABC) :x-y+4z-5=0.
3. Vérifier qu’une représentation paramétrique de la droite D passant par D et orthogonale au plan
(ABC) est donnée par :
x = t
; y = −t ; z = 2+4t
avec t réel.
La droite D est dirigée par un vecteur normal au plan(ABC), c'est à dire par le vecteur n de coordonnées (1 ; -1 ; 4).
x =t+xD =t ;
y = -t+yD = -t
z = 4t+zD = 4t+2.
4. Montrer que le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC) est le point H(
−
1/
6
;
1/
6
;
4
/3 ).
Le point recherché est l'intersection de la droite D et du plan ABC.
t -(-t)+4(4t+2) -5= 0 ; 18t = -3 ; t = -3 / 18 = -1 /6.
xH = -1 /6 , yH = 1 /6 ; zH = 2+4*(-1/6) = 2-4/6 = 2-2/3 = 4 /3.
5. a. Montrer que le triangle ABC est isocèle en B.
AB =((3-2)2+(-2-1)2+(0-1)2)½ =11½.
CB =((3-0)2+(-2+1)2+(0-1)2)½ =11½.
AB = CB, donc le triangle ABC est isocèle en B.
b. Montrer que l’aire du triangle ABC est 3*
2½.
La hauteur issue du sommet principal d'un triangle isocèle est aussi médiatrice du segment AC.
Soit I le milieu du segment AC ; on recherche les coordonnées de ce point I.
(xA+xC) / 2 =(2+0) / 2 = 1.
(yA+yC) / 2 =(1-1) / 2 = 0
(zA+zC) / 2 =(1+1) = 2 = 1.
Aire du triangle = base * hauteur / 2 = AC *BI / 2.
AC =((0-2)2 +(-1-1)2 +(1-1)2)½ =8½.
BI =((3-1)2 +(-2-0)2 +(0-1)2)½ =9½= 3.
Aire recherchée = 3 *8½ / 2 =3 *2½.
6. a. En déduire que le volume du tétraèdre ABCD est égal à 1.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : V =
1
/3
B h, où B est l’aire d’une
base et h la hauteur relative à cette base.
Base = triangle ABC.
Hauteur DH.
DH =((-1/6-0)2 +(1/6-0)2 +(4/3-2)2)½ =2½/2.
Volume du tétraèdre : 3 *2½ *2½/ 6 =1..
b. On admet que la distance du point A au plan (BCD) est égale à 2½.
En déduire l’aire du triangle BCD.
Volume du tétraèdre = aire de la base BCD x hauteur issue de A ( notée h).
1 = Aire BCD * 2½ / 3.
Aire BCD = 3 / 2½ = 3 *2½ / 2.
7. Dans cette question, on note Dk le point ayant pour coordonnées (0; 0 ; k), où k est un réel.
a. Déterminer la valeur de k pour laquelle les points A, B, C et Dk sont coplanaires.
Quel est alors le projeté orthogonal du point Dk sur le plan (ABC) ?
les coordonnées de K doivent vérifiées l'équation du plan (ABC) x − y +4z −5 = 0.
0-0+4k = 5 ; k = 5 /4.
Le projeté orthogonal du point Dk sur le plan (ABC) est Dk.
b. Peut-on trouver une valeur de k telle que A soit le projeté orthogonal de Dk sur le plan (ABC) ?
Ces deux vecteuurs n'étant pas colinéaires, A n'est jamais le projeté orthogonal de Dk sur (ABC)
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