Mathématiques, fonctions, Bac
Métropole 06/2026
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Exercice 4 (5 points).
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]−1 ;+∞[ par :
f (x) = a +
b ln(x +1)/(x +1)
.
où a et b sont des réels, et ln désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur ]−1 ;+∞[.
On note f '
sa fonction dérivée et f '' sa fonction dérivée seconde.
Partie A
L’objectif de cette partie est de déterminer les valeurs de a et b de sorte que la courbe représentative de
la fonction f sur ]−1 ;+∞[ corresponde à celle tracée dans le repère orthonormé ci-dessous :
On précise que la droite TA est la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point A(0 ; 1).
1. Justifier que a = 1.
f(0)=a + b ln(0) / 1 = a = 1.
2. En utilisant le graphique :
a. Donner la valeur de f '
(0).
Justifier.
f '(0) = coefficient directeur de la tangente à la courbe pour x = 0.
f '(0) = 4 /1 = 4.
b. Donner le signe de f "(1).
Justifier.
Sur [0 ; 2] la fonction est concave : f "(1) < 0.
3. a. Montrer que pour tout réel x appartenant à ]−1 ;+∞[, on a :
f '
(x) =
b(1−ln(x +1)) /
(x +1)2
b. En déduire la valeur de b
On pose u = ln(x+1) et v = x+1 ; u' = 1/(x+1) ; v' = 1.
(u'v-v'u)/v2 = (1+ln(x+1)) / (x+1)2 .
f '(x) = b(1−ln(x +1)) /
(x +1)2
f '(0) = 4 = b(1-ln(1)) /1=b
b = 4.
Partie B
On admet dans la suite de l’exercice que la fonction f est définie sur ]−1 ;+∞[ par :
f (x) = 1+
4ln(x +1) /(
x +1)
1. Justifier que la droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe représentative de la fonction f .
En +oo, limite de ln(x +1) /(
x +1)
=0.
En +oo, f(x) tend vers 1.
La droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe.
2. Résoudre l’inéquation 1−ln(x +1) > 0 sur ]−1 ;+∞[.
1 > ln(x+1) ; ln(e) > ln(x+1) ; e > x+1 ; x < e-1.
Ensemble des solutions ]-1 ; e-1[.
3. On admet que la limite de f(x) = -oo quand x tend vers -1.
Dresser le tableau de variation complet de la fonction f en indiquant la valeur exacte de son extremum.
Justifier.
f '(x) = 4(1−ln(x +1)) /
(x +1)2.
4 / (x+1)2 >0.
Le signe de f '(x) est celui de 1-ln(x+1).
La dérivée est nulle pour ln(x+1) = 1 soit x+1 = e ; x = e-1.
4. Montrer que l’équation f (x) = 1,5 admet une unique solution dans l’intervalle [2 ;+∞[.
En donner une valeur arrondie à 10−1
.
Sur cet intervalle, f est continue car dérivable et strictement décroissante
1,5 est une valeur comprise entre f(2) = 1 +4ln(3) / 3 ~2,46 et la limite de f en +oo.
D'après le théorème de la bijection, l'équation f(x) = 1,5 admet une unique solution sur [2 ; +oo[.
5. a. Montrer que : .
On pose u = ln(x+1) ; u' = 1/(x+1).
ln(x+1) / (x+1) = u u'.
Primitive de ln(x+1) / (x+1) : F(x) = 0,5 u2 soit 0,5( ln(x+1))2.
F(2) = 0,5 (ln(3))2 ; F(0) = 0.
F(2)-F(0) = ½ (ln(3))2.
b. En déduire l’aire, en
unité d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe
représentative de la fonction f , l’axe des ordonnées et la droite
d’équation x = 2.
Primitive de f(x) : x+4 F(x) = x+2 (ln(3))2.
0+4F(0) = 0.
2+4F(2) = 2+2(ln(3))2 ;
Aire recherchée : 2+2(ln(3))2 .
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Partie A.
Soit f une fonction définie et dérivable sur l’intervalle [0 ;+∞[ dont on donne ci-dessous une partie de
la courbe représentative Cf dans un repère orthogonal.
On note f
′
sa fonction dérivée.
On précise que :
• la courbe Cf admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point C
d’abscisse 1;
• la tangente TA à la courbe Cf au point
A (0,5 ; 0)
passe par le point B(1 ; e2)
.
1. À l’aide du graphique ci-contre :
a. Donner f
′
(1).
f '(1) = 0, la tangente en C à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses.
b. Donner la solution de l’équation
f (x) = 0 sur l’intervalle [0 ; 3].
La courbe coupe l'axe des abscisse au point A d'abscisse 0,5 : f(0,5) = 0.
2. Déterminer f
′ (0,5).
f '(0,5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A soit e2 / 0,5 = 2 e2.
3. Parmi les trois courbes C1, C2 et C3 ci-dessous, deux représentent des primitives de la fonction f .
Indiquer lesquelles et justifier.
Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante. Sur un
graphe cela correspond à une courbe image d'une autre courbe par
translation d'un vecteur colinéaire au vecteur dirigeant l'axe
des ordonnées. Donc courbes C1 et C2.
Partie B.
Un industriel doit créer un logo représentant la forme c- dessous.
La dimension de 0,3 cm indiquée sur la figure est une
contrainte imposée par le client.
L’industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à
l’aide d’une portion de la courbe de la fonction f vue en
partie A, et de l’image de cette portion par la symétrie par
rapport à l’axe des abscisses, sur un intervalle [0,5; a].
Le nombre a est un réel supérieur à 1 que l’on déterminera dans cette partie.
L’ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé d’unité 1 cm.
On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [0;+∞[ par :
f (x) = (2x −1) exp(−2x+3)
1. a. Vérifier que pour tout réel x appartenant à
l’intervalle [0;+∞[ :
f (x) = e
2 (
2x −1) /
exp(
2x−1).
e2 / exp(2x-1) = e2 *exp(-2x +1) = exp(-2x+1+2)=exp(-2x+3).
.
b. En déduire la limite de f en +oo.
En +oo : exp(2x-1) tend vers +oo ;
par croissance comparée (
2x −1) /
exp(
2x−1) tend vers zéro.
Par limite du produit e
2 (
2x −1) /
exp(
2x−1)., f(x) tend vers zéro.
2. a. Montrer que,
pour tout x de l’intervalle [0;+∞[,
f
′
(x) = (−4x +4) exp( −2x+3).
On pose u = 2x-1 et v = exp(-2x+3) ; u' = 2 ; v' = -2 exp(-2x+3).
u'v+v'u=(2 -2(2x-1) exp(-2x+3)= (-4x+4)exp(-2x+3)
.
b. Construire le tableau complet des variations
de la fonction f sur l’intervalle [0;+∞[.
3. Justifier que la contrainte imposée par le client se
traduit par l’égalité f (a) = 0,15.
Montrer qu’il existe une unique valeur de a dans
l’intervalle [1 ; +∞[ qui permette de vérifier cette
égalité.
En donner une valeur arrondie au dixième.
0,3 cm correspond à 0,3 unité graphique.
Distance entre le point de coordonnées (a ; f(a) et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses : 2 f(a).
2 f(a ) = 0,3 ; f(a) = 0,15.
f est continue ( car dérivable), strictement décroissante ; 0,15 est
une valeur comprise entre f(1) et la limite de f en +oo soit zéro.
D'après le théorème de la bijection, l'équation f(x) = 0,15 admet une solution unique sur [1 ; +oo[ qui est a.
La calculatrice donne a ~3,3.
Partie C
On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d’acier suivant la forme du logo représenté par la
surface grisée suivante.
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On précise que cette plaque a une épaisseur de 0,2 cm.
1. On considère :
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que l’intégrale I arrondie au dixième est égale à 3,6.
On pose u = 2x-1 ; v = -0,5 exp(-2x+3)
u' = 2 ; v' = exp(-2x+3).
I = -2,8 e-3,6 -0,5 e-3,6 +0,5e2 = 0,5e2-3,3 e-3,6 ~3,6.
2. On précise que le volume du porte-clé est égal à :
Aire du logo × épaisseur de la plaque.
Déterminer le volume du porte-clé en cm3
, arrondi au dixième.
Aire de la plaque = 2 *3,6= 7,2 cm2.
Epaisseur 0,2 cm.
V = 0,2 *7,2 =1,4 cm3.
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