Mathématiques, suites, équations
différentielles, Bac
Métropole 06/2026
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Exercice
2 (5 points).
Un bassin destiné à l’élevage des truites contient 30 000 litres d’eau,
régulièrement renouvelée.
Pour vérifier la présence éventuelle de substances polluantes dans le
bassin, on procède à des analyses
régulières.
On étudie dans les deux parties ci-dessous un cas de contamination de
l’eau par une substance polluante à l’aide de deux modèles différents.
Les deux parties sont indépendantes.
Partie A : modèle discret
On note Vn le volume, en litre, de la substance polluante
présente dans le bassin, n heures après le début
du phénomène de pollution.
On a ainsi V0 = 0.
On admet que pour tout entier naturel n, Vn+1 = 0,995Vn
+6.
1. Calculer V1 et V2.
V1 = 0,995 *V0+6=0,995 *0+6 =6.
V2 = 0,995 *V1+6=0,995
*6+6 =11,97.
2. Recopier et compléter le programme suivant pour
qu’il renvoie le volume en litre de substance polluante
présente dans le bassin après n heures.
def volume(n):
v =0
for k in range(n):
v = 0.995 *x+6
return v
3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel
n, Vn <Vn+1
< 1200.
Initialisation
: V0 <V1 < 1200 est vraie.
Hérédité :
Vn <Vn+1 < 1200 est supposé vrai.
. 0,995 Vn
< 0,995
Vn+1 < 0,995*1200
( soit 1194).
0,995 Vn +6 < 0,995 Vn+1
+6 < 1194+6
Vn+1 <Vn+2 < 1200.
Conclusion
: l'inégalité est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc
vraie pour tout entier naturel n.
4.
Justifier que la suite (Vn) converge, et calculer sa limite.
La suite est croissante et bornée par 1200. Donc la suite converge vers
une limite l < 1200.
La limite est une solution de l'équation x = 0,995x+6 ; 0,005 x =6 ; x
= 6 /0,005=1200.
Partie B : modèle continu.
On note v(t) le volume, en litre, de la
substance polluante présente dans le bassin à l’instant t, en heure.
On admet que la fonction v est définie et dérivable sur l’intervalle [0
; +∞[, et on note v
′
sa fonction
dérivée.
On considère que le phénomène de pollution débute au temps t = 0; ainsi
v(0) = 0.
On admet que la fonction v est solution de l’équation différentielle :
(E) : y
′ = −0,005y +6,
où y est une fonction inconnue et où y
′
est la fonction dérivée de y.
1. a. Déterminer les
solutions de l’équation différentielle (E) sur [0 ; +∞[.
b. Montrer que pour
tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; +∞[ :
v(t) = 1200(
1− exp(
−0,005t))
.
Solution générale de y' +0,005y =0 : y =
A exp(-0,005 t) avec A une constante réelle.
Solution particulière de (E) : y = 6 / 0,005 = 1200.
Solution générale de (E) : y = A exp(-0,005t) +1200.
A t=0, v(0) = 0 : 0 = A+1200 ; A = -1200.
y =v = 1200(1-exp(-0,005 t).
c. Calculer la limite de v en
+∞.
Le terme en exponentielle tend vers zéro et y tend vers 1200.
d. Déterminer le
sens de variation de la fonction v sur l’intervalle [0;+∞[.
v ' = 1200 x0,005 exp(-0,005 t). la dérivée étant
strictement positive, v est strictement croissante.
2. Un taux de substance polluante
supérieur à 5% du volume du bassin nécessite un nettoyage complet.
Selon ce modèle, le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage ?
Volume total du bassin 30 000 litres.
30 000 *0,05 = 1500 L.
Or la fonction tend vers 1200 < 1500 quand t tend vers +oo, tout en
étant strictement croissante, le nettoyage n'est pas nécessaire.
3. Pour pouvoir
dépolluer rapidement le bassin et éviter de lourdes conséquences sur
l’élevage, il est
préconisé que le volume de la substance polluante ne dépasse pas 50
litres.
Déterminer la valeur exacte de l’instant au-delà duquel le volume de la
substance dépasse 50 litres
dans le bassin.
En donner la valeur en heure et minute, arrondie à la minute..
50 = 1200 (1-exp(-0,005t).
50 /1200 = 0,04167=1-exp(-0,005t).
1-0,04167=0,9583= exp(-0,005t).
ln(0,9583)= -0,005t ;
t = 8,51 heures ou 8 h et 0,51*60 minutes soit 8 h31 min.
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On étudie le fonctionnement d’un
système de chauffage installé dans une pièce.
Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la
pièce est inférieure ou égale à
18 °C (degrés Celsius), et s’éteint lorsqu’elle atteint 20 °C.
Partie A :
Phase de chauffage.
Pour une température de la pièce variant de 18 °C à 20 °C, le
système de chauffage fonctionne en continu.
La température de la pièce augmente progressivement.
Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré
Celsius, à l’instant t, exprimé en
dizaines de minutes, par une fonction T définie sur [0 ;+∞[.
On admet que la fonction T est :
• dérivable sur [0 ;+∞[;
• solution de l’équation différentielle
(E) :
y' = −0,035y +0,91
où y est une fonction de la variable t, définie et dérivable sur [0
;+∞[.
On note T'
la fonction dérivée de la fonction T .
On suppose qu’au début de l’étude, la température de la pièce est de 18
°C.
Ainsi T (0) = 18.
1. Donner les
solutions de l’équation différentielle (E) sur [0 ;+∞[.
2. En déduire que,
pour tout nombre réel t appartenant à l’intervalle [0 ;+∞[, on a :
T (t) = 26−8 exp(−0,035t)
Solution générale de -0,035y +y' = 0 : y =A exp(-0,035t) avec A
une constante réelle.
Solution particulière : y = 0,91 / 0,035=26.
Solution générale de E : 26 +A exp(-0,035t).
A t = 0 : 18 = 26+A exp(0) = 26+A ; A = -8.
y=T= 26-8 exp(-0,035t).
3. Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra la température de
20 °C.
On exprimera le résultat en heures et minutes arrondi à la minute.
20 = 26-8 exp(-0,035t) ;
6 = 8 exp(-0,035t) ; 6/8 = exp(-0,035t).
ln (6/8) = -0,035 t ; t = 8,21 dizaines de minutes ; 82,1 minutes ou 1 h 22 min.
4. Si une panne du système de chauffage l’empêche de s’éteindre lorsque la température de la pièce
atteint 20 °C, la température de la pièce pourra-t-elle dépasser 28 °C selon ce modèle ?
Justifier.
T= 26-8 exp(-0,035t).
T > 28 ; 28 > 26-8 exp(-0,035t).
2 > -8exp(-0,035t) ave le terme en exponentiel positif.
La température ne pourra pas atteindre 28°C.
Partie B : Phase de refroidissement
Lorsque la pièce atteint la température de 20 °C, le système de chauffage s’éteint et la pièce refroidit.
On modélise la température de la pièce par la suite (un) définie par u0 = 20 et pour tout entier naturel n :
un+1 = 0,965un +0,35+0,07 exp(−0,1n)
,
où n est un nombre entier exprimant le temps écoulé en dizaines de minutes.
1. Montrer que u1 = 19,72.
u1 = 0,965u0 +0,35+0,07 exp(0)
=0,965 *20 +0,35+0,07=19,72.
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a un > 10.
Initialisation :u0 = 20 > 10. la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : un > 10 est supposé vrai.
0,965un > 9,65.
0,965un +0,35 > 10.
0,07 exp(−0,1n) >0 ;
0,965un +0,35+0,07 exp(−0,1n) > 10.
un+1 > 10.
Conclusion : la propriété est fraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
On admet que la suite (un) est décroissante.
3. En déduire que la suite (un) est convergente.
La suite est décroissante et bornée par 10 : donc elle converge.
4. On note l la limite de la suite (un).
a. Justifier que cette limite est solution de l’équation
x = 0,965x +0,35.
En +oo le terme en exponentielle tend vers zéro.
La limite est l = 0,965 l +0,35.
0,035 l = 0,35 ; l = 10.
Au bout d'un temps suffisamment long la température de la pièce atteint 10 °C.
5. On rappelle que
le système de chauffage se met en marche automatiquement dès que la
température de la pièce, est inférieure ou égale à 18 °C.
a. Recopier et compléter les lignes 4,5 et 6 du programme écrit en langage Python ci-dessous,
afin qu’il renvoie le nombre de dizaines de minutes à partir duquel le système de chauffage
se remettra en marche.
1. def marche() :
2. n = 0
3. u = 20
4. while u>18
5. u =0.965*u+0.35+0.07*exp(-0.1*n)
6. n =n+1
.
7. return n
b. Déterminer le temps, en dizaines de minutes, à partir duquel le système de chauffage se
remettra en marche.
On calcule les premiers termes de la suite :
u7 > 18 ; u8 ~17,87.
La fonction renvoie n = 8.
Le chauffage se remet en marche au bout de 80 minutes.
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