Mathématiques, probabilités, Bac Métropole 06/2026

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Exercice 1 (5 points).
 Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Lors d’une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu’un emplacement pour un véhicule.
Partie A Parmi l’ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que 30% réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, 80% réservent une cabine. On sait par ailleurs que 75% des familles effectuant la traversée réservent une cabine. On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les évènements suivants :
• V : « la famille réserve un emplacement pour un véhicule »;
• C : « la famille réserve une cabine »
1. a. Donner P(C).
P(C) = 0,75.

 b. Reproduire l’arbre ci-dessous et compléter les quatre pointillés.

 2. Calculer la probabilité qu’une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine.
0,3 *0,8 = 0,24.
3. Une famille a réservé une cabine. Déterminer la probabilité qu’elle réserve un emplacement pour un véhicule.
PC(V)=P(C n V) / P(C) = 0,24 / 0,75=0,32.
4. Déterminer Pnon V (C). On arrondira le résultat à 10−2 . Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Pnon V(C) = P(non V n C) / P(non V) .
P(non V n C)=(0,75-0,24) / 0,7=0,728~0,73..
73 % des familles n'ayant pas réservé d'emplacement pour un véhicule ont réservé une cabine.

Partie B.
 Sur ce trajet, la réservation d’une cabine et d’un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée. Ces suppléments sont d’un montant de :
• 100 ( pour une cabine;
• 70 ( pour l’emplacement d’un véhicule.
On suppose qu’une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.
À ces suppléments peuvent s’ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).
On note X la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu’elle paie, en euro, pour les suppléments. On donne ci-dessous la loi de probabilité de X.
xi
 0
 70
 100
 170
P(X=xi)
 0,19
 0,06
 0,51
 0,24
On note Y la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu’elle paie, en euro, pour les extras. On admet que la variable aléatoire Y a pour espérance E(Y ) = 104 et pour variance V(Y ) = 1 686.
 On suppose que les variables X et Y sont indépendantes.
1. Justifier que E(X) = 96 et que V(X) = 3 114.
E(X) = 0 *0,19+70 *0,06 +100 *0,51 +170 *0,24=4,2 +51+40,8 =96.
V(X) = (x1-E(X)2 P(X=x1)+ (x2-E(X)2 P(X=x2)+ (x3-E(X)2 P(X=x3)+ (x4-E(X)2 P(X=x4).
V(X) = (0-96)2 x0,19 +(70-96)2*0,06 +(100-96)2*0,51 +(170-96)2*0,24 =3 114.
2. À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de 40% sur les suppléments et les extras. On note Z la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.
a. Justifier que Z = 0,6(X +Y ).
X+Y est la variable aléatoire donnant la somme des suppléments et des extras avant réduction.
Après remise, les familles vont payer :0,6(X+Y).
b. En déduire que E(Z) = 120 et que V(Z) = 1 728, où E(Z) est l’espérance de la variable aléatoire Z et V(Z) sa variance.
Linéarité de l'espérance : E(Z) = 0,6 E(X) +0,6 E(Y) = 0,6 (96+104)=0,6*200=120.
X et Y étant indépendantes,V(Z) = 0,62 V(X+Y)=0,36(V(X)+V(Y))=0,36(3 114 + 1686)=1728.

 3. On note n un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de n familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question 2. On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.
On désigne par Z1 la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, Z2 la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, Zn la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la n-ième famille.
On considère la variable aléatoire Mn = Z1 + Z2 +...+ Zn  donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles. On admet que les variables Z1 , Z2 , . . . , Zn sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire Z.
a. Montrer que l’espérance E( Mn ) de la variable Mn est égale à 120, et que sa variance V( Mn ) est égale à 1 728 / n .
Linéarité de l'espérance : E(Mn)=1 /n ( E(Z1)+E(Z2) +...+E(Zn))=1 / n(120 +120 +...+120)=120n / n = 120.
Les variables aléatoires étant indépendantes :
 V(Mn)= 1 /n2 (V(Z1)+V(Z2)+...+V(Zn))=(1728 +1728 +...+1728) /n2 =1728n /n2 = 1728 n.
b. Déterminer le plus petit entier n pour lequel l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’affirmer que
P(114< Mn < 126 )> 0,85.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
P(114< Mn < 126 )=P(114-120 < Mn-120 < 126-120) =P(-6 < Mn-E(Mn)  < 6 =P(|Mn-E(Mn)| < 6) = 1-P(|Mn-E(Mn)| > 6.
D'après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour un réel t >0 :
P(|Mn-E(Mn)| > t) < V(Mn) / t2.
 Pour t = 6 : P(|Mn-E(Mn)| > 6) < (1728 / n) / 62.
 (1728 / n) / 62. = 1728 / (36n)=48 / n.
P(|Mn-E(Mn)| >6) < 48 /n ;
1-P(|Mn-E(Mn)| >6) > 1-48 / n.
P(114 < Mn<126 > 1-48 / n.
1-48 / n > 0,85 ; P(114 < Mn<126 > 0,85.
En résolvant : 1-48 / n > 0,85 ; 0,15 > 48 / n ;
n > 48 /0,15 ;  n > 320.
A partir de 320 familles à bord, l'affirmation " le coût moyen payé pour les suppléments et les extras, après réduction de 40 %" est strictement compris entre 114 et 126 € au risque de 15 %.


Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On désigne par « musiciens professionnels » l’ensemble des femmes et hommes pratiquant un instrument de manière professionnelle.
1. Une étude a été réalisée auprès des musiciens professionnels pratiquant différents genres musicaux (Pop, Rap, Rock, Classique, etc.). Cette étude indique que :
• 52% des musiciens professionnels jouent de la Pop;
• parmi les musiciens professionnels jouant de la Pop, 32% sont des femmes;
• 20% des musiciens professionnels sont des femmes.
On choisit au hasard une personne dans l’ensemble des musiciens professionnels. On note :
 • O l’évènement : « la personne joue de la Pop »;
• F l’évènement : « la personne est une femme ».
Affirmation 1 : Si la personne choisie est une femme, alors la probabilité qu’elle joue de la Pop est de 0,832.
PF(O) = P(O n F) / P(F) =0,52 *0,32 / 0,2 = 0,832. Affirmation vraie.

2. La proportion de musiciens professionnels au sein de la population active dans le secteur de la culture est estimée à 6,2%. On prélève au hasard et de manière indépendante un échantillon de 5 000 personnes au sein de cette population. La population considérée est assez importante pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On considère la variable aléatoire X qui, à tout échantillon ainsi défini, associe le nombre de musiciens professionnels dans l’échantillon.
 Affirmation 2 : En arrondissant le résultat au dixième, on a P(X < 0, 340) ≈ 0,4.
Probabilité que la personne joue de la musique professionnellement : p = 0,062.:
Cette épreuve se répète n = 5000 fois de manière identique et indépendante.
La variable aléatoire X compte les succès parmi ces n répétitions.
X suit une loi binomiale de paramètres n = 5000 ; p = 0,062.
La calculatrice donne p(X < 340) ~ 0,96.
L'affirmation est fausse.
Affirmation 3 : En appliquant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut affirmer qu’il y a plus de 95% de chance que, sur cet échantillon de 5 000 actifs dans le secteur de la culture, le nombre de musiciens professionnels soit strictement compris entre 230 et 390.
Cette inégalité s'écrit : P(|X-E(X)| > t) < V(X) / t2.
X suit une loi binomiale : E(X) = np = 5000 *0,062 = 310.
V(X) = np(1-p) = 5000 x0,062 x(1-0,062)=290,78.
230 < X < 390 est équivalent à : 230-310 < X-310 < 390-310.
-80 < X-E(X) < 80.
|X-E(X)| < 80.
Evénement contraire : |X-E(X)| > 80.
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec t = 80 :
P(|X-E(X)| > 80 ) < 290,78 / 802.
Or 290,78 / 802  < 0,05.
P(230 < X < 390) = 1-P(|X-E(X) | > 80) > 1-0,05 ;
P(230 < X < 390) > 0,95.
Affirmation Vraie.

3. Un jeu sur le thème de la culture de la Pop est proposé à 10 personnes dont 4 sont des musiciens professionnels. Deux équipes de 5 joueurs s’affrontent. Elles sont chacune constituées de 2 musiciens professionnels et de 3 personnes qui ne le sont pas.
 Affirmation 4 : On peut former ainsi 120 équipes différentes.
Deux joueurs professionnels sont choisis parmi 4 joueurs.Il y a (42)= 4 *3 /2 =6 façons de les choisir .
Trois joeurs non professionnels choisis parmi 6. Il y a (63) =6*5*4/(2*3)= 20 façons de les choisir.
Il y a 6 *20 = 120 équipes différentes.
Affirmation Vraie.



  
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