Mathématiques, probabilités, Bac Centres
étrangers 06/2026
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Exercice 1 (5 points).
La fédération internationale d’escrime établit des normes de fabrication sur les lames des armes des
tireurs afin de garantir au maximum leur sécurité.
Pour tester la conformité de l’acier employé, la lame est pliée puis redressée toutes les secondes jusqu’à
la rupture.
La lame est conforme si la rupture intervient après plus de cinq heures de test.
Un équipementier d’escrime se fournit auprès de trois fabricants de lames.
Son stock est composé de 60 % de lames du fournisseur A, de 12 % de lames du fournisseur B, le reste
venant du fournisseur C.
Une étude qualité a montré que :
• 90 % des lames du fournisseur A étaient conformes;
• 95 % des lames du fournisseur B étaient conformes;
• 85 % des lames du fournisseur C étaient conformes.
Partie A
Un contrôle est déclenché sur une des lames vendues par l’équipementier.
On considère les évènements suivants :
• A : « La lame testée provient du fournisseur A »;
• B : « La lame testée provient du fournisseur B »;
• C : « La lame testée provient du fournisseur C »;
• T : « La lame testée est conforme ».
1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.
2. Déterminer P ( A ∩ non T )
et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
P ( A ∩ non T ) =0,6 *0,1 = 0,06.
La probabilité que la lame provienne du fournisseur A et ne soit pas conforme est 0,06.
3. Démontrer que la probabilité que la lame testée soit conforme est de 0,892.
Formule des probabilités totale : 0,54 +0,114 +0,238 = 0,892.
4. Sachant que la lame testée n’est pas conforme, déterminer la probabilité qu’elle provienne du
fournisseur B. On donnera la valeur arrondie au millième.
PnonT(B)=P(B n non T) / P(non T) =0,05 *0,12 / (1-0,892)=0,055556 ~0,056.
Partie B
D’après la partie A, la probabilité qu’une lame de l’équipementier ne soit pas conforme est égale à 0,108.
Lors d’une compétition d’escrime, l’équipementier apporte un échantillon de 75 lames provenant de
son stock.
On considère qu’il les a choisies au hasard et de manière indépendante.
De plus son stock de lames est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage
avec remise.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de lames non conformes dans cet échantillon.
1. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.
Préciser ses paramètres.
n = 75 ; p = 0,108.
2. Calculer la probabilité que 6 lames exactement soient non conformes dans cet échantillon. On
arrondira le résultat au millième.
P(X=6)= (756) x0,1086 x0,89269 ~0,120.
3. L’équipementier affirme que la probabilité qu’il y ait strictement plus de 8 lames non conformes
dans cet échantillon est inférieure à 50 %.
A-t-il raison ?
P(X >8)=P(X >9)~0,422
0,422 < 0,5. Il a raison.
Partie C
Soit n un entier strictement positif désignant le nombre de compétitions durant lesquelles l’équipementier est présent.
Il apporte à chaque fois un échantillon de 75 lames.
Les variables aléatoires X1, . . . , Xn , que l’on considère indépendantes, donnent pour chaque échantillon
le nombre de lames non conformes.
On pose Mn =
(X1 + X2 +··· + Xn
) / n
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1. Déterminer l’espérance E(Mn) et la variance V(Mn) de la variable aléatoire Mn .
E(Mn) = E(X) = np =75 x0,108=8,1.
V(Mn) = V(X) / n =75*0,108*(1-0,108) / n = 7,2252 / n.
2. Justifier l’inégalité suivante, pour tout entier naturel n non nul :
P (|Mn −8,1 | )> 2 <1,8063 / n).
P(|Mn-E(X)| > t) < V(X) / (nt2).
Pour t = 2 : P(|Mn-8,1| > 2) < 7,2252) / (n22).
P(|Mn-8,1| > 2) < 1,8063) / n.
3. Déterminer une valeur de l’entier n à partir de laquelle P (|Mn −8,1 | < 2 )
> 0,95.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
1-P (|Mn −8,1 | < 2 )< 1-0,95
1-P (|Mn −8,1 | < 2 )< 0,05.
1,8063 / n < 0,05.
1,8063 /0,05 < n.
37 < n.
Si l'équipementier est présent à au moins37 compétitions, alors au
risque de 5 %, la moyenne des lames non conformes est compris entre 6,1
et 10,1.
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Parmi les habitants âgés d’au moins 15 ans vivant en France, on compte :
• 21 % de personnes de 15 à 29 ans;
• 46 % de personnes de 30 à 59 ans;
• 33 % de personnes d’au moins 60 ans.
On s’intéresse à l’utilisation d’un réseau social par les habitants âgés d’au moins 15 ans vivant en France.
On a ainsi pu observer que :
• 70 % des personnes de 15 à 29 ans ont déjà publié sur ce réseau social;
• 46 % des personnes de 30 à 59 ans ont déjà publié sur ce réseau social;
• 15 % des personnes d’au moins 60 ans ont déjà publié sur ce réseau social.
On interroge une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France et on lui demande si elle a déjà
publié sur ce réseau social.
On note :
• J l’événement : « la personne interrogée a entre 15 et 29 ans »;
• M l’événement : « la personne interrogée a entre 30 et 59 ans »;
• S l’événement : « la personne interrogée a au moins 60 ans »;
• R l’événement : « la personne interrogée a déjà publié sur ce réseau social ».
Dans tout l’exercice, les valeurs approchées seront arrondies au millième.
Partie A
1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité.
2. Déterminer P(M ∩R).
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
P(M ∩R) =0,46 *0,46 = 0,2116.
La probabilité qu'une personne agée entre 30 et 59 ans ait publié sur le réseau est égale à 0,2116.
3. On interroge au hasard une personne âgée d’au moins 15 ans vivant en France.
a. Calculer la probabilité qu’elle ait déjà publié sur ce réseau social.
Formule des probabilités totale : 0,4081.
b. On sait que cette personne a déjà publié sur ce réseau social.
Déterminer la probabilité qu’elle ait au moins 60 ans.
PR(S) = P(R n S) / P(R) = 0,33 x0,15 / 0,4081 = 0,1213.
Partie B
Au cours d’un sondage, on interroge successivement, au hasard et de
manière indépendante, 100 personnes âgées d’au moins 15 ans vivant en
France et on leur demande si elles ont déjà publié sur ce réseau
social.
La population du pays est suffisamment grande pour qu’on assimile le
choix des personnes sondées à
des tirages successifs avec remise.
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes ayant
déjà publié sur ce réseau social
parmi ces 100 personnes interrogées.
Dans cette partie, on admet que la probabilité qu’une personne âgée
d’au moins 15 ans vivant en France
ait déjà publié sur ce réseau social est 0,41.
1. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.
Donner ses paramètres.
n = 100 ; p = 0,41.
2. Calculer la probabilité qu’au moins la moitié des 100 personnes interrogées ait déjà publié sur ce
réseau social.
La calculatrice donne P(X > 50)=0,04279.
3. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
E(X) = n p = 100 x0,41 = 41.
41 personnes sur 100 ont publié sur le réseau social.
Partie C
On effectue le sondage décrit dans la partie B dans 150 villes françaises en respectant les mêmes conditions.
On note X1 , X2 , ... , X150 les variables aléatoires donnant le nombre de personnes ayant déjà publié sur
ce réseau social parmi les 100 personnes interrogées dans chacune des 150 villes.
On considère Y la variable aléatoire définie par :
Y =(X1 + X2 +··· + X150
) /150.
Démontrer que la probabilité que la variable aléatoire Y soit strictement comprise entre 37 et 45 est
strictement supérieure à 98 %.
Y = (X1+X2+...+X150) / 150.
E(Y) = E(X) = 41.
V(Y) = V(X) /150 = 100 x0,41 x(1-0,41) / 150 = 24,19 / 150.
P(37 < Y <45)=P(-4 < Y-41 < 4)=1-P(|Y-41|) > 4).
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
P(|Y-E(Y)| >t) < V(Y) / t2.
Pour t = 4 : P(|Y-41| >4) < 24,19 / (150*42).
P(|Y-41| >4) < 803 / 80 000.
1-P(|Y-41| >4)> 1-803/80000.
P(37 < Y < 45 > 0,98996.
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