Mathématiques, géométrie, Bac Asie 06/2026

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Exercice 3 (5 points).
  Dans l’espace muni d’un repère orthonormé de l’espace, on considère les points suivants
 A(0 ; 0 ; 1) ; B(1 ; 2 ; 3) ; C(3 ; 3 ; 1) ; E(2 ; −2 ; 2) ; F(3 ; 0 ; 4) et G(5 ; 1 ; 2)
1. a. Montrer que les points B, C et E ne sont pas alignés.

Les coordonnées n'étant pas proportionnelles, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Les points B, C et E n'étant pas alignés, ils définissent un plan.
 b. Justifier que le vecteur AF est normal au plan (BCE).


 c. En déduire qu’une équation cartésienne du plan (BCE) est x + z −4 = 0.
3x+0 y +3z+d = 0.
3x+3z +d=0.
B(1 ; 2 ; 3) appartient à ce plan :
3*1+3*3+d=0 ; d = -12.
3x+3z-12 =0 ou x+z-4=0.
a. Montrer que le point G n’appartient pas au plan (BCE).
G(5 ; 1 ; 2).
5+2-4 = 3 diffère de zéro : le point G n'appartient pas à ce plan.
 b. Montrer que les vecteurs suivants ne sont pas coplanaires.

5 = 2a +b ; 1 = a-4b ; 1 = -2a-b.
b=5-2a ; 1 = a-20+8a ; 9a = 21 ; a = 21 / 9 = 7 /3.
 b =5-14 /3 = (15-14) / 3 = 1 /3.
-2a-b = -14 /3 -1/3 = -15 /3 = -5 diffère de 1.
Les trois vecteurs ne sont donc pas coplanaires.
c. En déduire que la droite (AG) et le plan (BCE) sont sécants.
 La droite (AG) n'est pas parallèle au plan (BCE) , ni incluse dans ce plan.
La droite (AG) et le plan (BCE) sont donc sécants.
Pour la suite de l’exercice, on appellera P le point d’intersection de la droite (AG) et du plan (BCE).
 3. a. Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (AG) est :  x = 5t ; y = t ; z = 1+ t avec t réel.
x = xA +5 t = 0+5t = 5 t.
y = yA +t = 0+t = t.
z = zA +t =1+t avec t réel.
 b. En déduire les coordonnées du point P.
P: point d’intersection de la droite (AG) et du plan (BCE).
xP+ zP −4 = 0.
5t +1+t -4=0 : 6t = 3 ; t  = 0,5.
xP = 2,5 ; yP =0,5 ; zP = 1,5.
 c. Montrer que le point P est le milieu du segment [EC].
Coordonnées du milieu du segment [EC] :
(xE+xC) / 2 =(2+3) / 2 = 2,5 ;
(yE+yC) / 2 =(-2+3) / 2 = 0,5 ;
(zE+zC) / 2 =(2+1) / 2 = 1,5.
On retrouve les coordonnées du point P.
  4. Déterminer l’intersection des plans (BCE) et (ACG).
Ces plans sont sécants car :
le point C appartient à ces deux plans.
G appartient au plan (AGC) mais n'appartient pas au plan (BCE).
L'intersection de deux plans est une droite notée (d).
 P: point d’intersection de la droite (AG) et du plan (BCE).
Donc la droite (CP) est l'intersection de ces deux plans.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé , on considère les points
 A(1; 2; 3), B(−1; 3; 1), C(2; 1; 6) et D(3;−2;−1).
1. a. Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

Les coordonnées n'étant pas proportionnelles, ces vecteurs ne sont pas colinéaires. les points A, B et C n'étant pas alignés, ils définissent un plan.
b. Montrer que le vecteur n(1 ; 4 ; 1)  est normal au plan (ABC).

Le vecteur n étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), il est normal à ce plan.
 c. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
x+4y+z+d = 0.
A(1 ; 2 ; 3) appartient à ce plan : 1+4*2+3+d = 0 ; d = -12.
x+4y+z-12 = 0.
2. a. Déterminer une équation paramétrique de la droite (d), perpendiculaire au plan (ABC) et passant par le point D.
La droite (d) passe par le point D(3 ; -2 ; -1) et est dirigée par le vecteur n(1 ; 4 ; 1).
Représentation paramétrique de (d) :
x = t+3 ; y = 4t-2 ; z = t-1 avec t réel.
 b. Déterminer les coordonnées du point H qui est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).
Le point H appartient à (d) et au plan (ABC) :
 xH = 3+t ; yH = -2+4t ; zH = -1+t.
(3+t) +4(-2+4t)+(-1+t)-12 = 0.
-18 +18t =0 ; t = 1.
xH = 3+1 = 4 ; yH = -2+4=2  ; zH = -1+1=0.
c. En déduire que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3 *2½.
Il s'agit de la longueur DH :
DH2 = (4-3)2 +(2-(-2))2 +(0-(-1))2 = 18 ; DH = 18½ = 3 *2½.
 3. a. Montrer que cos ( BAC ) = − 3 *11½ / 11.

AB2 = (-2)2 +12 +(-2)2 = 9 ; AB = 3.
AC2 =12 +(-1)2 +32 = 11 ; AC = 11½.
cos (BAC) = -9 /(3*11½)=  -3 / 11½= -3 *11½ / 11.
 b. En déduire la valeur exacte de sin ( BAC ) .
sin2(BAC) = 1-cos2(BAC) = 1-9/11 = 2 / 11.
L'angle appartenant à [0 ; p], le sinus est positif et vaut (2/11)½.
 c. Montrer que l’aire du triangle ABC vaut 3 *2½ / 2 .
Aire = 0,5 AB *AC *sin(BAC) = 0,5 *3*11½*2½ /11½= 3*2½ / 2.
4. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. On rappelle que le volume V d’un tétraèdre est donné par la formule suivante : V = 1/ 3 ×B ×h , où B est l’aire d’une base et h la hauteur qui lui est associée.
V = Aire ABC * DH / 3 = 2½ / 2 * 3 *2½ =3.



  
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