Mathématiques, fonctions, Bac Asie 06/2026 En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . Exercice 2 (5 points).   .Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l’évaluation. 1. On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]1;+∞[ par : Affirmation 1 : La fonction f admet pour limite 1 en +∞. Quand x tend vers +oo, 1/x tend vers zéro et f(x) tend vers 1. Affirmation vraie. 2. On considère la suite (wn) définie par w0 = 1 et pour tout entier naturel n par : wn+1 = wn +2n +3.  Affirmation 2 : Pour tout entier naturel n, wn = (n +1)2. Initialisation : w1 =1+3 = 4 = 22 = (1+1)2. Hérédité : wn = (n +1)2 est supposé vrai. wn+1 = wn +2n +3 = (n +1)2 +2n+3 = n2+2n+1+2n+3 =n2 +4n+4 =(n+2)2=(n+1+1)2. Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire ; elle est vraie pour tout entier n. Affirmation vraie. 3. Soit p un nombre réel tel que 0 < p < 1. On considère une variable aléatoire X qui suit la loi binomiale de paramètres 3 et p. On note P ( X = 1 ) la probabilité de l’évènement (X = 1). Affirmation 3 : P ( X = 1 ) = 3p −6p 2 +3p 3 . p(X=1) = (31) p1 (1-p)3-1 =3 p (1+p2-2p)=3p3-6p2+3p. Affirmation vraie. 4. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n > 1 par :  Affirmation 4 : Pour tout entier naturel n > 1, vn = en / n. Affirmation fausse. 5. On colorie en rouge, jaune ou noir chacune des 16 cases d’un quadrillage. Affirmation 5 : On peut réaliser (16 3) coloriages différents. On possède 3 choix de couleurs pour la première case. Multiplier par 3 choix de couleurs pour la seconde case. Et ainsi de suite. On a donc 316 choix possibles. Affirmation fausse. 1. On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 2p] par : g (x) = x cos(x)−sin(x). On admet que la fonction g est dérivable sur l’intervalle [0 ; 2p] et on note g ′ sa dérivée.  a. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 2p], on a : g ′ (x) = −x sin(x). On pse u = x et v = cos(x) ; u' =1 ; v' =-sin(x). u'v+v'u = cos(x) -x sin(x). g'(x) = cos(x) - xsin(x) -cos(x) = - x sin(x).  b. On donne le tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle [0; 2p] ci-dessous. Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations. Pour x compris entre 0 et p, g'(x)  est négative : g(x) est décroissante de 0 à -p. Pour x compris entre p et 2p, g'(x)  est positive : g(x) est croissante de -p  à 2p. Pour x = p, g(x) présente un minimum ( valeur -p). c. Montrer qu’il existe une unique valeur réelle a dans l’intervalle [p ; 2p] telle que g (a) = 0. La fonction g est continue ( car dérivable) sur  [p ; 2p] ; de plus elle est strictement croissante de -p à 2p. 0 est une valeur intermédiaire ente -p et 2p. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution à l'équation g(x) =0 dans cet intervalle. d. En déduire le tableau de signes de la fonction g sur l’intervalle [0; 2p]. Sur [0 ; a], g(x) est majorée par zéro : ses valeurs sont négatives. Sur [a ; 2p], elle est minorée par zéro : ses valeurs sont positives. 2. On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; 2p] par : f (x) = sin(x) / x On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle ]0; 2p] et on note f ′ sa dérivée. a. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle ]0 ; 2p] on a : f ′ (x) = g (x) /x 2. On pose u = sin(x) et v = x ; u' = cos(x) ; v' = 1. (u'v-v'u) / v2 =(x cos(x) -sin(x)) / x2 = = g (x) /x 2.  b. Étudier le signe de la fonction f ′ sur l’intervalle ]0 ; 2p]. x2 >0 ; f '(x) a le signe de g(x). Sur [0 ; a], g(x) est majorée par zéro : ses valeurs sont négatives. Sur [a ; 2p], elle est minorée par zéro : ses valeurs sont positives.  c. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle ]0; 2p]. f est décroissante sur [0 ; a], f est croissante sur [a ; 2p]. Pour x = a, la fonction présente un minimum. d. Déterminer la limite de f en 0. On pourra utiliser le taux d’accroissement de la fonction sinus en 0. Taux d'accroissement  de la fonction sinus entre 0 et x : (sin(x)-sin(0) ) / (x-0) = sin(x) / x = f(x). Quand x tend vers zéro, la limite cherchée esst le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 soit cos (0) =1. f tend vers 1 si x tend vers zéro. 3. On considère deux nombres réels r et s qui vérifient l’inégalité : 0 < r < s < p. Montrer que : r /s < sin(r ) /sin(s). r et s appartiennent à l'intervalle dans lequel la fonction f est strictement décroissante ; de plus la fonction siunus est à valeurs strictement positives. 0 < r < s < p entraîne sin(r) > f(s). sin(r) / r > sin(s) / s. sin(r) / (r sin(s) > 1 /s car sin (s) >0. sin(r) / sin(s) > r / s  car r >0.

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