Mathématiques, probabilités, Bac Asie 06/2026

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Exercice 1 (5 points).
  Un tireur à l’arc s’entraîne sur une cible dans le but d’atteindre son centre. On modélise la situation de la façon suivante :
• au premier tir, il atteint le centre de la cible avec une probabilité de 0,5 ;
 • pour les tirs suivants :
• lorsqu’il a atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu’il atteigne à nouveau le centre de la cible est 4/ 5 ;
• lorsqu’il n’a pas atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu’il atteigne le centre de la cible est 1/ 3 .
Pour tout entier naturel n non nul, on considère l’évènement Tn : « Le tireur atteint le centre de la cible au n-ième tir ».
On note pn = P (Tn) la probabilité que l’évènement Tn se réalise.
 1. Donner la valeur de p1 et montrer que p2 = 17 / 30 .
p1 = 0,5.
p2 = 0,5 *4 /5 +0,5 *1 /3 = 2 /5 +1 /6 =12 /30 +5 / 30 = 17 / 30.
2. Recopier sur la copie l’arbre de probabilité suivant et compléter les pointillés avec les probabilités qui conviennent.
3. exprimer pn+1 en fonction de pn.
4. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par : un = pn − 5 / 8.
 a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique de raison 7 / 15 .
un+1 =  pn+1-5/8 =7/15 pn+1/3-5/8 =7/15 pn+(8-15) / 24 =7/15 pn-7 / 24 =7/15 (pn- 15*7 /(24 *7)=7 /15(pn-15/24)=7 /15(pn-5/8).
  un+1 =7 /15 un.
Cette suite est une suite géométrique de raison 7 /15.
b. Déterminer une expression de un en fonction de n.
u1 = p1-5/8=1 /2 - 5 /8 = (4-5) / 8 = -1 /8.
un = u1 x qn-1= - 1 /8 x (7/15)n-1.
c. En déduire une expression de pn en fonction de n.
un = pn-5 /8 ; pn = un + 5 /8 = 5 /8 -1 /8 x (7/15)n-1.
5. Déterminer la limite de la suite (pn) et interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
0 < 7/15 < 1, donc (7/15)n-1tend vers zéro si n tend vers +oo.
un tend vers 5 / 8 si n tend vers +oo.
La probabilité que le tireur atteigne le centre de la cible se stabilise à 5 /8.

6. On considère ci-dessous une fonction seuil, incomplète, écrite en langage Python. Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de l’entier n telle que pn soit supérieur ou égal à 0,6.
def seuil()
n=1
p=0.5
while p < 0.6 :
n=n+1
p = p*7/15+ 1 /3
return n
7. Résoudre dans N l’inéquation pn > 0,6.
5 / 8 -1 /8 (7/15)n-1 > 0,6.
 -1 /8 (7/15)n-1 > 0,6- 5/8.
(7/15)n-1 < -8 (0,6- 5/8).
(7/15)n-1 < -4,8+5.
(7/15)n-1 < 0,2
(n-1) ln(7 /15) < ln(0,2).
ln(7/15) étant négatif :
n-1  > ln(0,2) /  ln(7/15).
n > 1+ln(0,2) /  ln(7/15).
1+ln(0,2) /  ln(7/15) ~3,1.
Dans N, les solutions sont les entiers supérieurs ou égaux à 4.
A partir de 4 lancers, l'archer a une probabilité d'atteindre le centre de la cible supérieure ou égale à 0,6.

Dans cet exercice, on s’intéresse aux lancers-francs effectués par un joueur lors de compétitions de basketball. Pour modéliser la situation, on considère dans chaque partie du problème que les conditions dans lesquelles s’effectuent ces lancers sont identiques et que ces lancers sont indépendants deux à deux.
Partie A Les statistiques de réussite des lancers-francs d’un joueur sont de 49,2 % lors d’une saison. Dans cette partie, on assimilera cette fréquence à sa probabilité de réussite d’un lancer-franc. Au cours d’un match, ce joueur tente 16 lancers-francs.
 On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur lors de ce match.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Répétition de n = 16 lancers francs identiques et indépendants. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli : deux issues sont possibles : succès , probabilité p = 0,492 ou échec.
X comptant le nombre de réussite, suit une loi binomiale de paramètres n = 16 et p = 0,492..
2. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X et l’interpréter dans le contexte de cet exercice.
E(X) = n p = 16 x0,492 = 7,872.
On réussit 7872 lancers francs sur 16000 tirs.
3. Calculer P(X = 5).
P(X=5)= (165) x0,4925 x(1-0,492)6-5~0,073.
4. Calculer la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs.
P(X > 6) = 1 - P(X < 5)=1-0,117=0,883.

Partie B On note p la probabilité que le joueur réussisse un lancer-franc, où p est un réel tel que 0< p < 1 On se place dans le cas où le joueur effectue 3 lancers-francs. On désigne par Y la variable aléatoire qui donne le nombre de lancers-francs réussis par ce joueur.
1. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire Y .
Y peut être égal à 0, 1, 2, 3.
2. Exprimer P(Y = 2) en fonction de p.
P(Y=2)= (32) p2 x(1-p)1.
 3. Donner la loi de probabilité de Y . Présenter la réponse sous forme de tableau.
yi
 0
 1
 2
 3
P(Y = yi)
 (1-p)3
 3p(1-p)2
 3p2(1-p)
 p3

 4. Montrer que P(Y > 2) = −2p 3 +3p 2 .
P(Y >2)=P(Y =2) + P(Y = 3)=3p2(1-p) + p3= -2p3 +3p2.
5. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0; 1] par f (x) = −2x 3 +3x 2 .
a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variation en y faisant figurer les valeurs aux bornes de l’intervalle [0; 1].
 f '(x) = -6x2 +6x = 6x(1-x).
 f '(x) a le signe de 1-x.
f '(x) est positive sur [0 ; 1] et f(x) est croissante de 0 à 1 sur cet intervalle.
 b. En déduire l’existence d’une unique valeur a dans l’intervalle [0; 1] telle que f (a) = 0,9.
f est continue et strictement croissante sur cet intervalle.
f(0) =0 et f(1) = 1. 0,9 appartient à [0 : 1]. D'après le corrollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) =  0,9 admet une solution unique sur cet intervalle.
c. Donner un encadrement d’amplitude 10−2 de cette valeur a.
La calculatrice donne 0,80 < a < 0,81.
d. Interpréter la valeur de a dans le contexte de l’exercice.
a : probabilité de réussite minimale sur un lancer franc afin que la probabilité de réussir au moins 2 lancers sur 3 soit égale à 90 %.



  
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