Mathématiques,
BTS groupe D1, D2, 2025.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres
d’intérêts.
.
| . |
.
.
|
|
.
.
|
..
..
......
...
|
Exercice 1 .11 points.
Dans le bassin d’aération d’une station d’épuration, les matières polluantes contenues dans
les eaux usées sont dégradées par des micro-organismes vivants nécessitant un apport en
dioxygène insufflé par le plancher.
Le mélange d’eaux et boues obtenu est ensuite transféré dans un bassin de décantation.
Partie A .
Pour vérifier le
fonctionnement correct du bassin d’aération, il est rempli d’eau pure
et on
y insuffle le dioxygène. Au fur et à mesure de l’absorption du
dioxygène insufflé, la concentration en dioxygène dans l’eau augmente
jusqu’à se stabiliser à une concentration appelée
concentration de saturation en dioxygène.
On mesure la concentration en dioxygène dans l’eau toutes les deux
minutes à partir du
début de la phase d’aération.
Les résultats sont rassemblés dans le tableau ci-dessous :
temps ti minute
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
12
|
14
| 16
|
18
|
20
|
Ci(mg / L)
|
0
|
2,531
|
4,438
|
5,875
|
7,063
|
7,770
|
8,378
|
9,066
| 9,215
|
9,726
|
9,809
|
1. Le nuage de points (ti
; Ci) est représenté sur le graphique ci-dessous.
Expliquer graphiquement pourquoi un ajustement linéaire de ce nuage de points ne
paraît pas approprié.
Les points ne sont pas alignés.
2. On pose yi = ln(10,54−Ci).
Le tableau ci-dessous donne certaines valeurs de yi arrondies à 10−3
.
:
temps ti minute
|
0
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
12
|
14
| 16
|
18
|
20
|
yi(mg / L)
|
2,355
|
2,081
|
1,809
|
1,540
|
u
|
1,019
|
0,771
|
0,388
| v
|
-0,206
|
-0,313
|
Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes u et v du tableau, arrondies à 10−3.
u=ln(10,54-7,063)=1,246.
v=ln(10,54-9,215)=0,281.
3.
À l’aide de la calculatrice, déterminer par la méthode des moindres
carrés une équation de la droite d’ajustement du nuage de points (
ti
; yi )
sous la forme y = at +b, où
les coefficients a et b seront arrondis à 10−3
.
y=-0,136t+2,356.
4. Dans ce qui suit, on choisit la droite d’équation y = −0,14t + 2,35 pour effectuer un
ajustement du nuage de points (
ti
; yi )
.
On souhaite utiliser cet ajustement pour exprimer, en mg ·L
−1
, la concentration en
dioxygène dans l’eau, notée C(t), en fonction du temps t écoulé en minutes.
Déduire de ce qui précède que C(t) = 10,54−Ae
−0,14t où A est un réel dont on donnera
la valeur arrondie à 10−2
.
ln(10,54−C)= −0,14t + 2,35
10,54-C = exp(−0,14t + 2,35) =exp(2,35) x exp(-0,14t) =10,49 exp(-0,14t).
C = 10,54 -10,49 exp(-0,14t).
Partie B.
Dans cette partie, on modélise la concentration en dioxygène dans l’eau (en mg · L
−1
) au
temps t écoulé (en minutes) par la fonction f définie sur [0 ; +∞[ qui vérifie f (0) = 0 et qui
est solution de l’équation différentielle (E) :
y
′ +r y = 10,54r
où r est un nombre réel constant exprimé en min−1
1.a Écrire, en fonction du réel r , l’ensemble des solutions de l’équation
(E0) : y
′ +r y = 0.
y = A exp(-rt) avec A une constante réelle.
b. Vérifier que la fonction constante g définie sur [0 ; +∞[ par g(t) = 10,54 est une
solution particulière de l’équation différentielle (E).
g'(t) = 0, repport dans (E) :
0+10,54r = 10,54r.
c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
f(t)=A exp(-rt)+10,54.
d. En déduire que, pour tout réel t > 0, f (t) = 10,54(
1−e
−r t)
.
f(0) =0=A+10,54 ; A = -10,54.
2. La quantité de dioxygène transférée par minute dans le bassin d’aération est notée
AHS et vérifie :
AHS = r ×CS ×V.
On admet que AHS = 1000 g · min−1
, CS = 0,01054 g ·L
−1
et V = 700 0000 L.
a. Déterminer une valeur approchée du réel r exprimée à 10−2 min−1 près.
1000 = 0,01054 x 700 000 r ; r =0,14.
b. La modélisation par la fonction f et la valeur du réel r obtenue apparaissent-elles
cohérentes avec la fonction C obtenue à la partie A, question 4. ?
f(t)= -10,54 exp(-0,14t)+10,54 est cohérent avec C = 10,54 -10,49 exp(-0,14t).
Partie C.
Après cette première phase d’insufflation, une fois la concentration en dioxygène stabilisée,
on désactive le système d’insufflation. Des réactions chimiques se déroulent alors dans le
bassin d’aération, et la concentration en dioxygène dans ce bassin diminue alors jusqu’à
atteindre 0 mg ·L
−1.
On remet alors en marche le système d’insufflation de dioxygène. La
concentration en dioxygène dans le bassin d’aération augmente jusqu’à
atteindre une nouvelle valeur de saturation.
Soit la fonction g définie pour tout t > 0 par
g(t) = 4,77(
1−e
−0,09t )
.
On admet que la fonction g modélise l’évolution de la concentration en dioxygène en mg
·L
−1 dans le bassin d’aération à partir de la remise en marche du système d’aération en fonction du temps t mesuré en minutes.
1.a. Déterminer la limite de la fonction g en +∞. Interpréter cette valeur dans le
contexte de l’exercice.
Le terme en exponentielle tend vers zéro et g(t) tend vers 4,77.
Au bout d'un temps suffisamment long, la concentration en dioxygène est constant et vaut 4,77 mg L-1.
1.b Déterminer au bout de combien de minutes la concentration en dioxygène atteindra la valeur 4,293 mg·L
−1
, c’est-à-dire 90 % de la valeur de saturation apparente.
4,293=4,77(
1−e
−0,09t )
.
1−e
−0,09t =4,293 /4,77 =0,9 ; e
−0,09t =0,1.
-0,09t = ln(0,1) = - ln(10) ; t = ln(10) / 0,09 = 25,6 min.
2.a. On note G la fonction définie pour tout t > 0 par
G(t) = 4,77t +53e−0,09t
.
Vérifier que la fonction G est une primitive de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +∞ [.
On dérive G(t) :G '(t) = 4,77 +53 *(-0,09)e−0,09t =4,77 -4,77 e-0,09t =g(t).
b. On admet que la concentration moyenne en dioxygène pendant les vingt-cinq
premières minutes d’aération est égale à :
Cm = [G(25)-G(0)] / 25.
Déterminer l’arrondi, à 0,1 mg ·L
−1
, de la concentration moyenne en oxygène
pendant les vingt-cinq premières minutes d’aération.
G(25) =4,77*25 +53e−0,09*25
.=119,25 +5,586=124,836.
G(0) =53.
Cm = 124,836-53 ~71,8 mg L-1.
|
...
|
....
|
Exercice 2
Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Des produits pharmaceutiques, injectables ou buvables, sont conditionnés dans des ampoules en
verre dont une extrémité est faite
pour être facilement cassée. Une telle ampoule est appelée ampoule bouteille.
Partie A.
Lors du calibrage, on contrôle deux dimensions de l’ampoule bouteille et on
procède à son éjection de la ligne de finition si les deux dimensions sont hors
tolérances. Ces deux dimensions sont :
- le diamètre d de scellage où l’ampoule sera fermée après remplissage du
produit pharmaceutique ;
- la hauteur totale h de l’ampoule.
Ces deux dimensions sont contrôlées en début de ligne de finition.
On choisit au hasard une ampoule et on note D la variable aléatoire qui à
chaque ampoule associe son diamètre d de scellage exprimé en mm et H la
variable aléatoire qui, à chaque ampoule, associe sa hauteur totale h exprimée
en mm.
On admet que ces variables aléatoires peuvent être modélisées de la façon suivante :
- la variable aléatoire D suit la loi normale de moyenne 7,1 et d’écart type
0,24 ;
- la variable aléatoire H suit la loi normale de moyenne 102 et d’écart type
0,7.
On suppose que les variables aléatoires D et H sont indépendantes.
1. Parmi les trois
courbes I, II et III représentées ci-dessous, une seule est la
représentation graphique de la variable aléatoire D. Indiquer sur la
copie quelle est cette courbe
et justifier ce choix.
Courbe III : la courbe est symétrique par rapport à la moyenne 7,1.
95 % des valeurs se situent à ±2 écarts types de la moyenne.
2.a. Déterminer la probabilité P(6,48 < D < 7,72).
P(6,48 < D)=0,000489 ; P(7,72 < D)=0,9951 ;
P(6,48 < D < 7,72)=0,9951-0,000489~0,995.
b. Déterminer la probabilité P(100,6 < H < 104,1).
P(100,6 < H)=0,02275 ; P(104,1 < H)=0,9986 ;
P(100,6 < H < 104,1)=0,9986-0,02275~0,976.
3. Une ampoule est correctement calibrée si elle vérifie en même temps les deux conditions suivantes :
- son diamètre de scellage d appartient à l’intervalle [6,48; 7,72];
- sa hauteur totale h appartient à l’intervalle [100,6; 104,1].
Déduire de la question 2. la probabilité qu’une ampoule prise au hasard en début de
ligne de finition soit correctement calibrée.
0,995 x 0,976 =0,971.
Partie B.
Dans cette partie, on prélève 50 ampoules bouteilles en début de ligne de finition.
Le nombre d’ampoules produites est suffisamment important pour que ce prélèvement puisse
être assimilé à un tirage avec remise de 50 ampoules.
On admet que la probabilité qu’une ampoule, prise au hasard dans le prélèvement, soit correctement calibrée est égale à 0,97.
On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 50 ampoules en début de
ligne de finition, associe le nombre d’ampoules correctement calibrées.
1. Sans justifier, donner la loi suivie par la variable aléatoire X et préciser ses paramètres.
Loi binomiale. n = 50 ; p = 0,97.
2. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X et interpréter cette valeur dans le
contexte de l’exercice.
Espérance = np = 50 x0,97 =48,5.
En moyenne, sur 100 ampoules, 97 ampoules sont corectement calibrées.
3. On prélève 50 ampoules bouteilles en début de ligne de finition. Déterminer la probabilité, arrondie à 10−3
, que, dans un tel prélèvement, au moins quatre ampoules
ne soient pas correctement calibrées (dans ce cas, la ligne de finition est arrêtée pour
réglage).
P(X >4) = 1-P(X < 0,937=4) =1-P(X < 3) =1-0,937=0,063.
Partie C.
Un technicien souhaite contrôler la qualité du remplissage des ampoules bouteilles par une
solution.
Dans ce but, il prélève un échantillon de 100 ampoules (un tel prélèvement peut être assimilé
à un tirage avec remise du fait de l’importance de la production).
Le volume moyen de la solution contenue dans ces 100 ampoules est ve
= 9,67 mL.
Il souhaite tester l’hypothèse « le volume de solution contenue dans
une ampoule est égal à
10 mL » à l’aide d’un test bilatéral au seuil de signification de 5 %.
On désigne par V la variable aléatoire qui, à un échantillon de 100
ampoules prélevées au hasard dans l’ensemble de la production, associe
la moyenne des volumes de solution contenue.
On pose pour hypothèse nulle « H0 : µ= 10 mL » et pour hypothèse alternative
« H1 : µ diffère de 10 mL ».
1. Sous l’hypothèse H0, on admet que la variable aléatoire V suit la loi normale d’espérance 10 et d’écart type 0,03.
Donner, sans justifier, un nombre réel h tel que P(10 − h < V < 10 + h) ≈ 0,95 à 10−2
près.
h = 1,96 x0,03~0,06.
2. Énoncer la règle de décision du test.
Si la moyenne de l'échantillon appartient à l'intervalle [ 10-0,06 ; 10+0,06] soit [9,94 ; 10,06], l'hypothèse H0 est valide, sinon H1 est valide.
3. D’après l’échantillon prélevé par le technicien, peut-on accepter l’hypothèse H0 au
seuil de signification de 5 % ? Justifier.
ve = 9,67 mL n'appartient pas à [9,94 ; 10,06], l'hypothèse H0 n'est pas valide.
4. Si le test bilatéral avait été réalisé au seuil de signification de 1 %, quelle aurait été la
région d’acceptation du test parmi les quatre proposées ci-dessous ? On ne justifiera
pas la réponse.
A = [9,97; 10,03] B = [9,95; 10,05] C = [9,94; 10,06] D = [9,92; 10,08]
h = 2,58 x 0,03 ~0,08.
[ 10-0,08 ; 10+0,08] soit [9,92 ; 10,08]
|
|
|
|