Mathématiques, BTS groupe C1, C2, 2025.

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Exercice 1.10 points.
On s’intéresse à l’évolution de l’épaisseur moyenne des glaciers au niveau mondial. Le tableau ci-dessous donne les variations en mètre de l’épaisseur moyenne de tous les glaciers par rapport à 1956, année de référence. Le rang 0 correspond à l’année 1960. Par exemple, on peut lire dans le tableau que les glaciers ont perdu, en moyenne, 2 mètres d’épaisseur entre 1956 et 1960 et 4 mètres d’épaisseur entre 1956 et 1970.
Année
 1960
 1970
 1980
 1990
 2000
 2010
 2020
 2023
Rang xi
 0
 10
 20
 30
 40
 50
 60
 63
Epaisseur yi (m)
 -2
 -4
 -6
 -8
 -13
 -18
 -27
 -30
Le graphique ci-dessous représente le nuage de points correspondant aux données du tableau.

 
Partie A . Première modélisation.
1. Peut-on penser qu’un ajustement affine de y en x est approprié ? Justifier.
Non, les points ne sont pas alignés.
 2. Pour chaque épaisseur xi , on pose zi = ln(−yi). Recopier et compléter les quatre dernières colonnes du tableau suivant. On arrondira les résultats à 10−3 .
Rang xi
 0
 10
 20
 30
 40
 50
 60
 63
yi
 -2
 -4
 -6
 -8
 -13
 -18
 -27
 -30
zi
 0,693
 1,386
 1,792
 2,079
 2,565
 2,890
 3,296
 3,401
3. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d’ajustement de z en x. On arrondira les coefficients à 10−3 .
z =0,041 x +0,867.
4. En déduire un ajustement de y en x sous la forme y = Ae ax , où A et a sont deux constantes réelles. On arrondira A au centième et a au millième.
0,041 x +0,867.= ln(-y) ;
-y =exp(0,867) exp(0,041x).
-y =2,38 exp(0,041x)
y =-2,38 exp(0,041x).
5. Avec ce modèle, estimer l’épaisseur moyenne perdue par les glaciers en 2030. On arrondira le résultat à l’unité.
y =-2,38 exp(0,041 *70) = -42 m.

Partie B- Deuxième modélisation.
On suppose dans cette partie que l’évolution de l’épaisseur moyenne (en mètre) des glaciers par rapport à 1956 peut être modélisée par une fonction g du temps x, exprimé en année (x = 0 représentant l’année 1960), qui vérifie l’équation différentielle suivante : (E) y ′ −0,041y = 0 où y est une fonction dérivable sur [0 ; +∞[ et y ′ sa fonction dérivée.
1. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
y = A exp(0,041 x) avec A une constante réelle.
2. Sachant que g(30) = −8, déterminer l’expression de g en fonction de x. On arrondira la constante calculée à 10−3 .
-8 = A exp(0,041 *30) =3,42 A ; A = -8 /3,42 =-2,34.
g(x) =-2,34 exp(0,041 x).
3. Avec ce modèle, estimer au cours de quelle année l’épaisseur moyenne aura diminué de 50 m par rapport à 1956.
-50 = -2,34 exp(0,041 x) ;
50 /2,34 = exp(0,041 x) ;
0,041x = ln(50 / 2,34) =3,06 ;
x =3,06 / 0,041 =74 ( année 2030).

Partie C- Étude de fonction
On suppose dans cette partie que l’évolution de l’épaisseur moyenne (en mètre) des glaciers par rapport à 1956 en fonction du temps x en année (x = 0 représentant l’année 1960) peut être modélisée par la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f (x) = −2,3 e0,04x . La fonction f admet une dérivée sur [0 ; +∞[, notée f ′ .
1. a. Calculer f ′ (x) pour x appartenant à [0 ; +∞[.
f '(x) = -2,3 x0,04 exp(0,04x) =-0,092 exp(0,04x).
b. Donner le signe de f ′ (x) sur [0 ; +∞[. En déduire les variations de la fonction f sur [0 ; +∞[
exp(0,04x) est positif ; f '(x) est négative ; f (x) est strictement décroissante.
c. Cela est-il cohérent avec le contexte de l’exercice ? Justifier
C'est cohérent, l'épaisseur des glaces diminue au fil des ans.
2. Donner la limite de la fonction f en +∞. Que peut-on penser de la modélisation par cette fonction sur le long terme ? Justifier.
Le terme en exponentielle tend vers +oo. f(x) tend vers -oo.
Cela n'est pas cohérent, car l'épaisseur des glaciers est finie.

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 Exercice 2
Une entreprise réalise des forets (tiges métalliques pour percer le béton). Elle possède trois machines, nommées A, B et C, réglées pour fabriquer des forets de diamètre 10 mm et de longueur 110 mm.
Partie A- Probabilités conditionnelles.
 La machine A fabrique 20 % de la production de l’entreprise et les machines B et C fabriquent chacune 40 % de la production de l’entreprise. On considère que 1 % des forets fabriqués par la machine A sont défectueux, ainsi que respectivement 2 % et 1,5 % des forets fabriqués par les machines B et C. On choisit un foret au hasard dans l’ensemble de la production.
- A est l’évènement « le foret provient de la machine A ».
 - B est l’évènement « le foret provient de la machine B ».
 - C est l’évènement « le foret provient de la machine C ».
- D est l’évènement « le foret est défectueux ».
- non D est l’évènement « le foret n’est pas défectueux ».
 1. Reproduire et compléter l’arbre suivant en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.

2. Calculer P(A ∩D).
3. Montrer que P(D) = 0,016.
4. Calculer PD(B), c’est-à-dire la probabilité qu’un foret provienne de la machine B sachant qu’il est défectueux.
PD(B) = P(B ∩D) / P(D) = 0,008 / 0,016 =0,5.

Partie B - Contrôle de conformité
On admet dans cette partie que la probabilité de choisir au hasard dans le stock de l’entreprise un foret défectueux est de 0,016. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 forets choisis au hasard dans le stock de l’entreprise, associe le nombre de forets défectueux dans ce prélèvement. On admet que le stock est suffisamment grand pour assimiler chaque prélèvement à 100 tirages successifs avec remise d’un foret du stock. On choisit au hasard un prélèvement de 100 forets.
1. Expliquer pourquoi la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Les prélevements sont indépendants et leur nombre est fixé à n = 100.
Chaque tirage peut déboucher seulement sur 2 résultats  : la probabilité qu'une pièce soit non conforme est constante p = 0,016. La probabilité qu'une pièce soit conforme est q = 1-p = 0,984.
 2. Calculer la probabilité de n’avoir aucun foret défectueux dans ce prélèvement. On arrondira le résultat à 10−3 .
P(X=0)=0,199.
3. Calculer la probabilité qu’il y ait au plus deux forets défectueux dans ce prélèvement. On arrondira le résultat à 10−3 .
P(X <2)=0,784.

Partie C - Contrôle du diamètre
On s’intéresse au diamètre des forets fabriqués par la machine B. On admet que la variable aléatoire Y donnant le diamètre d’un foret (en millimètre) pris au hasard dans la production de la machine B suit une loi normale de paramètre µ = 10 et s = 0,02. L’entreprise estime qu’un foret peut être commercialisé lorsque son diamètre est compris entre 9,95 mm et 10,05 mm. Calculer la probabilité qu’un foret choisi au hasard dans la production de la machine B puisse être commercialisé. On arrondira le résultat à 10−3 .
P(Y < 9,95) =0,00621 ; P(Y < 10,05)=0,9938.
P(9,95 < Y < 10,05) =0,9938-0,00621=0,9876 ~0,988.

Partie D - Test d’hypothèse.
 L’entreprise considère qu’une machine est correctement réglée lorsque le diamètre moyen des forets produits par cette machine est égal à 10 millimètres. Suite à la maintenance de la machine C, l’entreprise se demande si cette machine est toujours correctement réglée. Le responsable qualité construit pour cela un test d’hypothèse bilatéral au seuil d’erreur de 5%. On désigne par Z la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 50 forets prélevés au hasard dans la production de la machine C, associe la moyenne, en millimètre, des diamètres des forets de cet échantillon. On suppose que le nombre de forets est suffisamment élevé pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On admet que la variable aléatoire Z suit une loi normale de moyenne m et d’écart-type s = 0,009. L’hypothèse nulle H0 est donc « m = 10 ».
 1. Donner l’hypothèse alternative H1.
m diffère de 10.
2. Déterminer sous l’hypothèse H0, une valeur arrondie à 10−3 du réel h tel que : P(10−h < Z < 10+h) = 0,95.
t=1,96 ; h = s t=0,009 x1,96=0,01764.
3. On prélève un échantillon de 50 forets et on obtient un diamètre moyen de 9,97 mm. Peut-on, au seuil de 5%, conclure que la machine C est correctement réglée ?
Si la moyenne  de l'échantillon appartient à l'intervalle [ 10-0,01764 ; 10+0,01764] soit [9,982 ; 10,0176], l'hypothèse H0 est valide, sinon H1 est valide.
9,97 ne figure pas dans cet intervalle, la machine n'est pas correctement réglée.



  
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