satellite sur orbite circulaire cours exercices

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le mouvement est uniforme

accélération = champ de gravitation à l'altitude considérée

valeur de la vitesse

période

3 éme loi de Kepler


exercice 1
satellite artificiel de la terre

Un satellite de la terre décrit une orbite circulaire dans le plan de l'équateur terrestre. Sa période est notée T. L'altitude du satellite est 640 km : rayon terrestre R=6400 km ; g=9,8 ms-2 .

Le mouvement du satellite est uniforme (répondre vrai ou faux)

Si l'altitude double, alors T2 est multipliée par 2 1/3.

La vitesse du satellite sur sa trajectoire est :

La période du satellite est supérieure à 1 heure


corrigé


La norme du vecteur vitesse est constante, donc le mouvement est uniforme

3ème loi de Képler si (R+h) double , alors T2 est multipliée par 23.

R+h=6400+640=1,1R ; v=6,4 106*1,179 10-3 =7551 ms-1 =2097 kmh-1.

La circonférence de rayon R+h= 7,04 106 est parcourue à la vitesse v pendant T seconde.

circonférence:4,42 107 m T=4,42 107 / 7551 =5855 s=1 h 37 min




exercice 2
satellite géostationnaire
Dans le repère géocentrique on considère un satellite géostationnaire de masse m animé d'un mouvement circulaire uniforme. m=2 t ; MT=6 1024 kg ; RT=6400 km ; G=6,7 10-11 ; jour sidéral=8,6 104 s (période de révolution de la terre autour de l'axe des pôles ) (répondre vrai ou faux)
  1. la trajectoire du satellite est contenue dans un plan quelconque passant par le centre de la terre.
  2. Sa vitesse angulaire est 7,3 10-5 rad s-1.
  3. le rayon de son orbite est 4,2 107 m.
  4. Un satellite géostationnaire est utilisé pour l'observation de la terre.

corrigé




faux la trajectoire est contenue dans le plan de l'équateur.

vrai il tourne avec la même vitesse angulaire que la terre et paraît fixe pour un observateur terrestre.

vitesse angulaire (rad s-1)=2 *3,14 divisé par la période (s)

6,28/8,6 104

vrai voir la 3 ème loi de Kepler

rayon3=(8,6 104)2 /10-13

faux c'est un relais pour les télécommunications car il paraît fixe pour un observateur terrestre.

3éme loi de Kepler :


exercice 3
gravitation et 3 ème loi de Kepler

Loi des périodes : les carrés des temps de révolution des planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes des orbites.

  1. Dans le cas où l'orbite d'une planète peut être assimilée à un cercle de rayon R, en notant T la période de révolution de cette planète, traduire par une relation la loi des périodes.
  2. On considère les planètes Terre et Saturne dont les orbites seront assimilées à des cercles. La période T1 de Saturne est de 29,5 années .Sachant qu'une unité astronomique (u.a) est égale à la distance moyenne Terre-Soleil, déterminer en unités astronomiques le distance moyenne Saturne-Soleil.
  3. Gravitation universelle :
  • FJ est la valeur de la force exercée par Jupiter sur le Soleil, FS la valeur de la force exercée par le Soleil sur Jupiter. FJ est elle supérieure, égale ou inférieure à FS ? Justifier.
  • Une planète est un solide de masse à répartition sphérique. La valeur de la force de gravitation qu'elle exerce sur l'un des satellites serait elle modifiée si son diamètre était divisé par 2 et sa masse inchangée ? Justifier
  1. La masse de Saturne est 95 fois celle de la Terre ; la distance de Saturne au soleil est 905 fois la distance de la Terre au Soleil. Calculer le rapport de la valeur de la force de gravitation exercée par le soleil sur Saturne à celle exercée par le Soleil sur la Terre.


corrigé




d=9,54 u.a
Les deux forces sont opposées (même valeur et de sens contraire) d'après le principe de l'action et de la réaction ( ou interactions mutuelles) .

La force n'est pas changée car toutes les distances sont comptées à partir du centre de la planète, la masse étant ramenée au centre (corps à symétrie sphérique)


Les forces de gravitation sont proportionnelles aux masses des planètes (donc 95 fois plus grande pour saturne) et inversement proportionnelles aux carrés des distances (donc 905² fois plus petite pour saturne)

95 / 905²=1,16 10-4


exercice 4
accélération centripète et vitesse d'une planète
  1. Trouver la grandeur de la vitesse et de l'accélération centripète de la terre dans son mouvement autour du soleil. Le rayon de l'orbite terrestre est 1,49*1011 mètres et sa période de révolution est 3,16*107 secondes.
  2. Calculer la vitesse et l'accélération centripète du soleil dans son mouvement à travers la Voie Lactée. Le rayon de l'orbite du soleil est 2,4*1020 mètres et sa période de révolution est 6,3*1015 secondes.

corrigé


w = vitesse angulaire rad s-1= 2p fréquence Hz = 2p / période seconde

vitesse ms-1 = w*rayon m

accélération centripète ms-2 = w² rayon


terre
soleil
vitesse angulaire
1,987 10-7
9,968 10-16
vitesse
2,96 104
2,39 105
accélération centripète
5,88 10-3
2,38 10-10


exercice 5
durée séparant 2 passages au dessus du même point
 
  1. La fusée Ariane au moment du décollage a une masse de 750 t. La poussée des moteurs est 9 106 N. Calculer l'accélération de la fusée au décollage, les moteurs exerçant une force verticale.
  2. Le satellite artificiel placé en orbite basse (h=200km) tourne dans le plan équatorial terrestre dans le même sens que la terre.
  • Calculer le temps t mis par ce satellite pour repasser à la verticale d'un même lieu.
  • Même question le satellite tourne en sens inverse.
jour sidéral :86164 s. g0=9,8 et rayon terrestre = RT=6380 km
corrigé
La fusée est soumise à 2 forces verticales de sens contraire (poids vers le bas 9,8*7,5 105 N et poussée vers le haut 9 106 N )

la 2ème loi de Newton s'écrit : a = -g0 + 9 106 /7 105 = 2,2 ms-2.


vitesse angulaire

vitesse angulaire de la terre : 2p /86164 =7,288 10-5 rad s-1.

période satellite : T²=4p²(RT+h)3 / (g0T)

T²=4*3,14²*(6,58 106)3/(9,8*6,38² 1012)

T=5308 s

vitesse angulaire satellite : 2p /5308 =1,183 10-3 rad s-1.


durée t

La terre décrit un angle de q radian pendant le temps t.

q =7,288 10-5 t

Le satellite décrit q+2p radian pendant le temps t

q+2p =1,183 10-3 t

faire la soustraction de ces 2 relations

t =2p / ( 1,183 10-3-7,288 10-5) = 5657 s

si le satellite tourne en sens contraire

t =2p / ( 1,183 10-3+7,288 10-5) = 4999 s

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