Aurélie 09/02
propagation d'une onde

fiche bac

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.




célérité dans les liquides ; caténaire ; dispersion ; diffraction ....

célérité dans les liquides :

Un émetteur et un récepteur d'ultrasons sont fixés sur deux couvercles vissés aux deux extrémités d'un tube étanche, rempli d'eau. La distance "émetteur-récepteur" est notée D=0,9 m. On donne les oscillogrammes( correspondant à la même salve) des tensions émises et reçues.

  1. Faire un schéma simplifié des appareils et du montage en indiquant les branchements de l'oscilloscope.
  2. Quelle est la fréquence des ultrasons ?
  3. Quelle est la célérité de propagation des ultrasons dans l'eau ?
  4. On remplace l'eau par d'autres liquides et on note le décalage Dt entre le début des oscillations émises et le début de la réception : acétone ( Dt = 0,76 ms) ; glycérol ( Dt = 0,47 ms) ; kérosène (Dt = 0,68 ms). Calculer la célérité de propagation des ultrasons dans ces liquides.
  5. On réalise une expérience identique dans un tube rempli d'air : calculer le décalage Dt observé. On donne la célérité des ondes ultrasonores dans l'air : V= 341 m/s

corrigé

4 périodes correspondent à 0,1 ms ; T = 10-4 / 4 = 2,5 10-5 s

la fréquence est l'inverse de la période : f = 1/ 2,5 10-5 = 40 000 Hz.

la célérité (m/s) est égale à la distance D(m) divisée par le décalage Dt (s) : 0,9 / 6 10-4 = 1500 m/s.

pour l'acétone : V = 0,9 / 7,6 10-4 = 1184 m/s.

pour le glycérol : V = 0,9 / 4,7 10-4 = 1915 m/s.

pour le kérosène : V= 0,9 / 6,8 10-4 = 1324 m/s.

pour l'air : Dt = 0,9 / 341 = 2,63 ms.


catènaire :

  1. Qu'appelle t-on onde mécanique progressive?
  2. Qu'appelle t-on onde mécanique progressive transversale?
  3. Comme une corde de piano frappée, la caténaire vibre à cause de la déformation crée par le pantographe qui alimente en énergie électrique la motrice d'un TGV. La célérité de ces ondes transversales est égale à la racine carrée du quotient de la tension F par la masse linéique m ( masse par unité de longueur). Ecrire la relation entre la célérité, la tension et la masse linéique.
  4. La corde de piano donnant le la du diapason a pour longueur L=420 mm, pour diamètre d= 1 mm. La masse volumique de l'acier qui la constitue est r = 7,86 103 kg m-3. Elle est tendue avec une tension F= 843 N. Calculer la célérité V1 de propagation des ondes transversales le long de cette corde.
  5. La caténaire d'un TGV est constituée d'un câble en cuivre de masse linéique m = 1,4 kg / m. La tension F est égale à 26 kN. Calculer la célérité V2 de propagation des ondes transversales le long de ce câble.
  6. Si la vitesse de la rame frôle la célérité de ces ondes, une perturbation se crée devant la rame ; la caténaire se soulève et prive d'énegie électrique la rame. Pour des raisons de sécurité et de fiabilité la SNCF limite la vitesse de ces rames à 70% de la célérité des ondes. Calculer la vitesse limite ( en km / h) d'une rame.

 


corrigé
On appelle onde mécanique le phénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu élastique, sans transport de matière ; cette onde transorte de l'énergie. Une onde est transversale si la perturbation provoquée est perpendiculaire à la direction de propagation .

V = racine carée ( F / m )

volume de la corde : p r2 L = 3,14 * (5 10-4)2 *0,42= 3,3 10-7 m3.

masse de la corde : volume (m3) fois masse volumique (kg/m3) = 3,3 10-7 * 7,86 103 = 2,6 10-3 kg.

masse linéique m = 2,6 10-3 / 0,42 = 6,17 10-3 kg/m.

célérité V1 = [843 / 6,17 10-3 ]0,5 = 369,6 m/s.

célérité V2 = [2,6 104 / 1,4 ]0,5 = 136,3 m/s.

vitesse limite de la rame : 136,3 *0,7 = 95,4 m/s soit 95,4*3,6 = 343,5 km/h.




Dispersion des ondes à la surface de l'eau :

Des ondes rectilignes sinusoïdales sont crées à la surface d'une cuve à ondes. Un bouton de réglage permet de faire varier la fréquence de ces ondes. Afin de mesurer les longueur d'ondes on utilise un éclairage stroboscopique, qui stabilise l'image.

Pour chaque fréquence, on mesure sir l'écran, la distance D séparant dix franges brillantes consécutives. Le grandissemnt de l'image formée sur l'écran est g = 1,79.

  1. Donner l'expression de la longueur d'onde réelle l des ondes à la surface de l'eau en fonction de D et g.
  2. Compléter le tableau suivant :
    f (Hz)
    11
    14
    17
    20
    23
    27
    30
    33
    36
    D(mm)
    230
    184
    154
    132
    118
    105
    98
    94
    90
    V (m/s)










  3. Construire la représentation graphique de la vitesse en fonction de la fréquence. La courbe tracée permet-elle de dire si les ondes à la surface de l'eau subissent la dispersion 

corrigé
la distance séparant deux franges brillantes consécutives est égale à la longueur d'onde
l .

tenir compte du grandissement : 10 l = D / g soit l = 0,1 D / g .

la célérité V (m/s) est égale à la longueur d'onde (m) fois la fréquence (Hz) : V = l f = 0,1 D f / g .

f (Hz)
11
14
17
20
23
27
30
33
36
D(m)
0,230
0,184
0,154
0,132
0,118
0,105
0,098
0,094
0,090
V (m/s)
0,141
0,144
0,146
0,1475
0,1516
0,158
0,164
0,173
0,181
V / f
0,0128
0,010
0,0084
0,0073
0,0066
0,0058
0,0054
0,0052
0,0050
le rapport V / f n'est pas constant : la célérité V dépend de la fréquence. La surface de l'eau constitue un milieu dispersif.


diffraction des ultrasons :

Un émetteur émet en continu des ultrasons de fréquence f= 40 kHz. A 15 cm de ce dernier, un récepteur placé dans une gouttière en forme d'arc de cercle reçoit ces ondes. Ce récepteur est relié à un oscilloscope ( sensibilité étant 5 ms / div).On relève l'amplitude de l'onde reçue en fonction de l'angle q que fait l'axe de symétrie du système avec la droite joignant l'émetteur au récepteur.(figure (1)

On obtient les valeurs suivantes :
q °
0
5
10
15
20
25
30
35
40
50
60
amplitude (mV)
0,91
0,9
0,85
0,78
0,67
0,59
0,49
0,38
0,3
0,16
0,09

  1. Tracer la représentation de l'amplitude en fonction de l'angle q appartenant à [-60° ; 60°]
  2. La célérité des ondes ultrasonores est 339 m/ s dans l'air . Calculer la longueur d'onde de ces ondes.
  3. On place face à l'émetteur une ouverture en forme de fente de largeur 2 cm. On effectue les même mesures :
    q °
    0
    5
    10
    15
    20
    25
    30
    35
    40
    50
    60
    amplitude (mV)
    0,64
    0,6
    0,44
    0,4
    0,41
    0,40
    0,32
    0,29
    0,24
    0,18
    0,13
    -Tracer la représentation de l'amplitude en fonction de l'angle q appartenant à [-60° ; 60°] sur la représentation précédente.
    - Quel est le phénomène mis en évidence.

corrigé

la longueur d'onde l (m) est égale à la célérité (m/s) divisée par la fréquence (Hz)

l = 339 / 40 000 = 8,47 mm.

l'onde ultrasonore subit un phénomène de diffraction en passant patr l'ouverture : la dimention de cette fente est du même ordre de grandeur que de la longueur d'onde de l'onde.

L'amplitude des ultrasons reçus est moins grande mais plus étalée dans l'espace


chute dans l'eau :

Une petite bille tombe dans une cuvette cylindrique remplie d'eau de rayon 60 cm. La bille est initialement à 80 cm au dessus de la surface de l'eau. On néglige les frottements de l'air. L'origine des temps est prise à l'instant du contact avec l'eau. Le niveau de référence pour l'énergie potentielle est la surface de l'eau. Le rayon de la bille est de 5,00 mm et sa masse volumique est r=2,0 103 kg/m3 ; on prendra g=9,8N/kg ; le volume de la sphère : V=4/3 p R3.

  1. Calculer la vitesse de la bille à l'instant où elle touche l'eau.
  2. Au moment de l'impact, la bille perd la moitié de son énergie. De quel type d'énergie s'agit t il ? Que devient elle ?
  3. Qu'observe t on alors à la surface de l'eau ? Comment se fait la propagation ?
  4. L'onde touche le bord de la cuvette à l'instant t=0,1s. En déduire la célérité des ondes à la surface de l'eau.
  5. Comment serait modifié la célérité :
    - Si la goutte tombait de 50 cm de haut seulement ?
    - Si on remplaçait l'eau par l'huile (de masse volumique plus faible) ?
  6. Un bouchon est à 1,0 cm du point d'impact de la bille. A quelle date se met il en mouvement ? Quelle énergie peut il récupérer au maximum.

corrigé
volume de la bille : 4*3,14/3 (5 10-3)3 = 5,23 10-7 m3.

masse de la bille :5,23 10-7 *2 103 = 10,46 10-4 kg = 1,05 g.

l'énergie potentielle de pesanteur initiale est convertie en énergie cinétique au cours de la chute. En absence de frottements l'énergie mécanique se conserve.

mgh = ½mv² d'où v² = 2gh = 2*9,8*0,8 = 15,68 soit v = 3,96 m/s.

l'énergie cinétique perdue par la bille au cours du choc est transférée au milieu liquide : on observe des ondes progressives transversales( rides circulaires) à la surface de l'eau se propageant dans toutes les directions à partir du point d'impact.

La bille tombe au centre de la cuvette : l'onde parcourt 0,6 m en 0,1 s ; la vitesse de propagation est : v = 0,6 / 0,1 = 6 m/s.

si h = 50 cm, l'énergie cinétique de la bille juste avant l'impact est moindre et l'énergie transférée au milieu liquide est plus petite: mais la célérité de l'onde ne change pas.

L'inertie d'un milieu est mesurée par sa masse volumique : la célérité d'une onde décroît avec l'inertie mais par contre croît avec la rigidité du milieu

si la rigidité de l'eau et de l'huile est identique, alors la célérité est plus faible dans l'huile.

le bouchon reproduit le mouvement de la source avec le retard t= x/v = 0,01 /6 = 1,66 10-3 s.

le bouchon peut récupérer au maximum la moitié de l'énergie cinétique.


sur une corde :

On déplace verticalement l'extrémité S d'une longue corde tendue, horizontale. L'élongation ys du point S atteint sa valeur maximale à la date t=30 ms et ses variations en fonction du temps sont données dans le tableau ci-dessous.
t(ms)
0
10
20
30
40
yS(cm)
0
0,5
1
1,5
0
L'élongation d'un point M, situé à la distance d=2,00 m du point S, atteint, pour la première fois, la valeur 0,75 cm à la date t1=825 ms.

  1. Représenter graphiquement les variations de l'élongation du point S en fonction du temps.
  2. Calculer la valeur de la célérité v de l'onde progressive.
  3. Quelle est la longueur de la portion de corde affectée par le signal (pour t>40 ms) ?
  4. A quelle date le point M reçoit il le signal ? A quelle date retrouve t il le repos ?
  5. Quelle est la position du point P de la corde possédant, à la date t1, l'élongation maximale ?
  6. Représenter la forme de la portion de la corde affectée à cette date par le signal.

corrigé

en noir aspect de la corde à la date t = 0,04s ; en rouge aspect de la corde à la date t = 0,05s.

à la date t = 5ms, l'élongation y= 0,75 cm pour la première fois;

le point M reproduit le mouvement de la source avec le retard t = SM/v = 0,825-0,05 = 0,82 s

v= 2/0,82 = 2,44 m/s.

longueur de la portion de corde affectée par la déformation à t >0,04 s : 2,44*0,04 = 0,0976 m environ 0,1 m.

M reçoit le signal à la date t = 0,82 s et se retrouve au repos 0,04 s plus tard.

soit P le point d'élongation maximale; P est situé avant M. Il s'écoule 10 ms entre l'instant où yP est maximale et l'insatnt où M reçoit le signal.

alors SP = 2,44 * 0,810=1,976 m


 

  1. Eclair et Tonnerre :Un soir d'été orageux, un randonneur voit un éclair tomber à proximité. Il regarde immédiatement sa montre et entend le bruit du tonnerre trois secondes après l'avoir vu tomber. La vitesse de son dans l'air est d'environ 340 m/s, celle de la lumière est de 3.108 m/s.
    -Calculer la distance entre le randonneur et le point d'impact de l'éclair.
    - Peu de temps après, le randonneur voit un second éclair, et entend le bruit du tonnerre 4,5 s plus tard. Expliquer pourquoi le randonneur est alors assuré. Faire l'application numérique.
  2. Détection sous-marine Une explosion a lieu 50 m au dessus de la surface de la mer. La vitesse du son est d'environ 340m/s dans l'air et de 1500 m/s dans l'eau.
    - Au bout de combien de temps, un sous marin situé exactement sous le point d'explosion à 30 m de profondeur, détecte t il le bruit d'explosion ?
  3. Célérité du son dans l'acier Sur un chantier, un ouvrier frappe un coup à l'extrémité d'une tige en acier de 100 m de long. Un second ouvrier, situé à l'autre extrémité de la poutre, entend alors 2 coup successifs. La célérité du son dans l'air est de 340 m/s.
    - Expliquer pourquoi l'ouvrier entend deux coups.
    - Sachant que la durée qui sépare les deux coups est de 0,277 s, calculer la célérité de l'onde dans l'acier de la tige.

corrigé
la vitesse de la lumière de l'éclair est très supérieure à la vitesse du son dans l'air .

340 * 3 = 1020 m et 340*4,5 = 1530 m l'orage s'éloigne


50 / 340 = 0,147 s (dans l'air)

30 / 1500 = 0,02 s ( dans l'eau)

total : 0,149s.


le son se propage dans l'air et est perçu à la date :100 / 340 = 0,2941s

le son se propage dans l'acier est est perçu à la date : 100/v = 0,2941-0,277 = 0,0171 s

vitesse du son dans l'acier : 100 / 0,0171 = 5848 m/s.


Aspect d'une corde vibrante

Un vibreur impose à une corde de 30 cm de long, une perturbation sinusoïdale de période T=0,01s. La célérité v des ondes mécaniques le long de la corde est de 10 m/s et l'amplitude maximale y0 de la perturbation est de 1 cm. On néglige dans tout l'exercice l'effet de la pesanteur.

  1. Donner l'expression de l'amplitude de l'extrémité du vibreur en fonction du temps, sachant qu'à l'instant initial t=0, l'amplitude du vibreur est maximale.
  2. Un point M situé à une distance x=SM du vibreur est atteint par l'onde après un retard t. Exprimer t en fonction de x et v.
  3. Etablir l'expression de l'amplitude yM de la corde en fonction du temps t, de la période T, du retard t et de l'amplitude maximale y0. Utiliser alors le résultat de la question précédente pour éliminer t de l'équation.
  4. Tracer l'allure de la corde à l'instant t1=0,03 s et t2=0,035 s.
  5. Sachant que x=15cm, tracer l'évolution de l'amplitude du point M au cours du temps. Comparer cette courbe à celle correspondant à l'extrémité du vibreur. Un point M est il en phase ou en opposition de phase avec l'extrémité du vibreur ? Ce résultat était il prévisible ?

 


corrigé
fréquence f = 100 Hz ; pulsation
w= 2*3,14*100 = 628 rad/s ; amplitude y0 = 0,01 m

yS = 0,01 cos(628t)

retard de M : t = x/v

M reproduit le mouvement de la source avec le retard t soit yM=0,01 cos(628(t-x/v)).

si x = 0,15 m , le retard t vaut 0,15/10 = 0,015s soit 1,5 périodes

yM=0,01 cos(628(t-0,015)).

la source et le point M sont séparés par un nombre impair de demi période : ils sont en opposition de phase.


Observation stroboscopique d'une corde

Un vibreur provoque une onde périodique sinusoïdale transversale, de fréquence N=200 Hz et se propageant le long d'une corde à vitesse v=40 m/s. Il n'y a pas d'onde de retour - menu (ou onde réfléchie). On observe le phénomène sous l'éclairage d'un stroboscope.

  1. Calculer la période spatiale de l'onde.
  2. Quelles sont les fréquences Ne des éclairs qui donnent l'immobilité apparente de la corde ?
  3. Représenter le phénomène observé en précisant les grandeurs caractéristiques.
  4. Le stroboscope est réglé sur la fréquence de 198 Hz.
    - Calculer la distance parcourue par l'onde entre deux éclairs consécutifs.
    - De quelle distance apparente un observateur voit il progresser cette onde entre ces deux éclairs ?
    - En déduire la célérité apparente de l'onde. Conclure.
    - Décrire qualitativement l'observation si la fréquence des éclairs est égale à 202 Hz.

corrigé
période temporelle T=1/200 =0,005 s ; période spatiale :
l = vT =40*0,005 =0,2 m.

l'immobilité apparente est obtenue lorsque la fréquence des éclairs est un multiple de la fréquence de l'onde

Ne = 200 k avec k entier

distance réelle parcourue par l'onde entre deux éclairs consécutifs :

durée entre deux éclairs : Dt = 1/198 s ; v = 40 m/s d'où d = 40/198 =0,202 m.

c'est à dire l + 0,002 = l + 0,01 l .

l'observateur voit l'onde progresser l'onde de 0,01 l soit 0,002 m entre deux éclairs c'est à dire en 1/198s

vitesse apparente de l'onde : 0,002*198 = 0,4 m/s

si la fréquence des éclairs est 202Hz, on observe un déplacement apparent identique au précédent mais en sens contraire du déplacement réel de l'onde.


ondes sonores dans l'air :

Deux petits microphones M1 et M2 séparés d'une distance d sont disposés sur l'axe de symétrie d'un haut parleur produisant une onde sonore sinusoïdale de fréquence N réglable. Ils sont reliés respectivement aux voies 1 et 2 d'un oscilloscope, de même sensibilité verticale.On fixe d=34cm et N=2000Hz.

  1. Quelle base de temps doit on choisir pour observer sur la voie 1 de l'oscilloscope, deux périodes de la tension captée aux bornes du microphones M1 ? L'écran est un rectangle comportant horizontalement 10 divisions et verticalement 8 divisions.
    - Pourquoi l'amplitude de la tension observé sur la voie 2 est elle plus faible que celle observée sur la voie 1 ?
    - Représenter l'oscillogramme de 2 tensions observées.
  2. On modifie la fréquence N et la distance d. Désormais N=1kHz et d=17cm
    - Représenter le nouvel oscillogramme obtenu
    - Le microphone M2 est ensuite éloigné de M1 et la base de temps réglé pour un oscillogramme analogue à l'oscillogramme de la question 1. Quelles sont alors les valeurs de d et de la nouvelle base de temps ?

 


corrigé
période des ondes : 1/2000 = 0,5 ms.

deux périodes doivent être visibles ( soit 1 ms) sur 10 divisions : sensibilité 0,1 ms / div.

le micro M2 est plus éloigné de la source que M1 : l'onde sonore perd de l'énergie au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la source. L'amplitude sur la voie 2 de l'oscilloscope sera donc plus faible que sur la voie 1.

La célérité du son dans l'air est 340 m/s; la fréquence des ondes est 2000 Hz :

la longueur d'onde est alors : l = 340/2000 =0,17 m

les deux microphones sont séparés par un nombre entier de longueur d'onde : on observe donc deux sinusoïdes en phase (non décalées l'une par rapport à l'autre).


La célérité du son dans l'air est 340 m/s; la fréquence des ondes est maintenant 1000 Hz :

la longueur d'onde est alors : l = 340/1000 =0,34 m

les deux microphones sont séparés par une demi longueur d'onde : on observe donc deux sinusoïdes en opposition de phase

Les deux courbes observées seront à nouveau en phase si les deux microphones sont distants d'une longueur d'onde soit 34 cm.


retour - menu