Aurélie 10/02
méthode d'Euler

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fiche bac



Courbe de décroissance radioactive par la méthode d'Euler :

Le professeur propose à l'élève d'obtenir un ensemble de points qui modélise cette décroissance en utilisant la méthode d'Euler. Pour cela on note m(t) le nombre d'évènements détectés à la date t et m(t+Dt) celui qui correspond à la date t + D t et on écrit m(t+Dt) - m(t) = D m . Dt est appelé "pas de résolution" de la méthode d'Euler. On fait l'hypothèse que le radon 220 est seul responsable de la radioactivité de l'échantillon. On en déduit que D m est proportionnel à la fois à m(t) et à D t ; la constante de proportionnalité est -l avec l = 0,0125 s-1 constante radioactive du radon 220.

Prendre pour valeur à l'origine la valeur m0 = 220 évènements détectés par seconde.

  1. Traduire mathématiquement la phrase précédente.
  2. La méthode d'Euler appliquée à m donne : m(t+Dt) = m(t) + D m. Pour appliquer cette méthode il faut choisir un "pas de résolution" adapté. Le professeur en propose 3 : 1 µs, 0,5 s et 20 s. Pourquoi l'élève élimine-t-il la première valeur et la dernière ?
  3. Calculer les premières valeurs de m obtenues par la méthode d'Euler en expliquant la démarche. Recopier et compléter le tableau.
    t(s)
    meuler
    0
    220
    0,5


    1


  4. L'élève utilise le tableur-grapheur pour le calcul de mEuler et le tracé des points obtenus dans le même système d'axes que précédemment. Il superpose les deux résultats.

    Remarque : à l'impression, les points obtenus par la méthode d'Euler, qui sont très rapprochés, semblent former une ligne continue.
    - L'hypothèse de la question 3 (« le radon 220 est le seul responsable de la radioactivité de l.échantillon ») paraît-elle acceptable ?

  5. Modélisation par résolution d'une équation différentielle et confrontation avec la méthode d'Euler
    Quand le pas de résolution Dt tend vers zéro, l'expression Dm / Dt tend vers la dérivée de m par rapport au temps qui peut être notée dm/dt
    - Écrire l'expression de l'équation différentielle, comportant les termes dm/dt , m et c traduisant la désintégration radioactive du radon 220.
    - Vérifier que m = m0 e-lt est solution de l'équation différentielle trouvée à la question précédente.
    - À partir de cette équation et à l'aide du tableur, l'élève détermine les valeurs de m, appelées m(th), toutes les 10 secondes. Il superpose ensuite toutes les valeurs, expérimentales et calculées, et il obtient le résultat suivant : (m(exp) = triangles rouges ; m(Euler) = petits points bleus ; m(th) = carrés verts.

    - Calculer les premières valeurs de mth en expliquant la démarche. Recopier et compléter le tableau.
    t(s)
    mth
    0


    10


    20


    - Doit-on s'étonner de voir les « points mth » sur le même profil que les « points mEuler » ?

  6. La méthode d.Euler est-elle applicable si on ne connaît pas :

    - les conditions initiales ?

    - une relation entre la grandeur étudiée et sa variation ?

    - la solution analytique de l.équation différentielle ?

    Justifier chaque réponse.




corrigé
Dm= -l m Dt.

La durée de l'étude est t =140 s, l'ordre de grandeur d'un pas souhaitable est t/100. La valeur la plus proche est 0,5 s.

1 µs est un pas trop petit, la durée du calcul serait trop grande.

Avec 20 s le pas serait trop grand et le résultat non satisfaisant. (peu de points pour tracer une courbe )

à t=0 : meuler (0) = 220

Dm= -l m Dt = -0,0125*220*0,5 = -1,375

m(0+Dt) = m(0) + D m = 220-1,375 = 218,625 soit 219.

à t=0,5 : meuler (0,5) = 218,625

Dm= -l m Dt = -0,0125*218,625*0,5 = -1,366

m(0,5+Dt) = m(0,5) + D m = 218,625-1,366 = 217,259 soit 217.

Les points obtenus avec la méthode d.Euler sont compatibles avec les points expérimentaux.

L'hypothèse du 3. paraît acceptable : le radon 220 est bien le seul responsable de la radioactivité de l'échantillon.


dm / dt = -l m soit dm/dt + l m=0

m = m0 e-lt ; dm/dt = -l m0 e-lt

repport dans l'équation différentielle :

-l m0 e-lt + lm0 e-lt = 0 quel que soit t

t=0 : mth = m0 =220.

t = 10s : mth = 220 e (-0,0125*10) = 194,14 ( 194)

t = 20s : mth = 220 e (-0,0125*20) = 171,33 ( 171)

les points mth coincident avec les points meuler.

La méthode d'Euler permet de trouver une solution approchée de l'équation différentielle.

La méthode d'Euler nécessite de connaître les conditions initiales ainsi qu'une relation entre la grandeur étudiée et sa variation.

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